文献阅读：Density pedestal prediction model for tokamak plasma[5]，来源：Nuclear Fusion 64 (2024) 076025

概述

1. 研究背景

• 为了最大化托卡马克核聚变反应堆的效率，需要优化等离子体的约束性能。
• 由于核心等离子体温度梯度受到湍流的限制，提高台基温度是优化整体约束性能的关键。
• EPED无法有效分离密度和温度，需要密度作为输入。

2. 研究目标

• 开发一个可以预测托卡马克等离子体密度基座的物理模型
• 该模型结合了中性粒子电离Franck-Condon（neutral particles ionisation）、电荷交换（charge exchange）和等离子体粒子输运（plasma particle transport）来预测台基密度。

3. 主要发现

• 模型在JET-ILW、ASDEX Upgrade和MAST-U等多个装置的I型ELMy H模式中得到验证
• 模型可以很好地预测不同参数范围内的密度基座
• 模型对分隔面密度(separatrix density)较为敏感
• 成功模拟了同位素效应（氘氚比例扫描实验）

4. 章节简介

• 第二章介绍具体物理模型；
• 第三章介绍模型在ASDEX Upgrade和MAST-U的验证，同时采用两种方法来处理EPED的问题；（经验温度剖面，和先密度过一遍EPED）
• 第四章讨论了边界条件（separatrix density）的重要性，结合台基模型和separatrix预测模型；（输入仅是一些参数）
• 第五章讨论了同位素效应对台基密度的影响；
• 第六章在环马克反应堆（STEP fusion reactor）上应用了模型。

5. EPED 和 EuroPED 的区别

在这篇论文中这部分没有重点介绍，但是EPED和EuroPED的区别是这个文章的核心背景。这里参考一篇介绍EuroPED-NN的文章[1]，梳理一下EPED和EuroPED的区别：

输入的区别

EuroPED输入参数	意义	EPED输入参数	意义
$B_t\qty(\si{T})$	环向磁场	$B_t\qty(\si{T})$	环向磁场
$I_p$	等离子体电流	$I_p\qty(\si{MA})$	等离子体电流
$Z_\text{eff}$	line-integrated effective charge	$Z_\text{eff}$	line-integrated effective charge
$R_0$	大半径	$R\qty(\si{m})$	大半径
$a$	小半径	$a\qty(\si{m})$	小半径
$\delta$	三角比	$\delta$	三角比
$\kappa$	拉长比	$\kappa$	拉长比
$P_\text{tot}$	injected auxiliary heating power
$n_\text{e,sep}$	separatrix electron density
		$n_{\text{e,ped}}\qty(\si{10^{19}m^{-3}})$	台基电子密度
		$\beta_{\text{N,global}}$	全局磁压比 $\beta$

理论区别

EuroPED虽然采用和EPED类似的基于参数计算台基的形式，但是采用Bohm/gyro-Bohm模型[3]来计算湍流输运，可以去掉从$P_\text{tot}$和$n_\text{e,sep}$计算出$n_{\text{e,ped}}\qty(10^{19}m^{-3})$和$\beta_{\text{N,global}}$。而前者可以更好地在实验前预估出来。

个人理解由于EPED无法直接同时预测台基温度（电子温度）和台基密度（电子密度），只能预测台基压强（压强是台基温度和密度的混合量），因此需要对EPED和其他模型（包含输运湍流等台基物理）进行整合，BgB模型可以做到一定程度，但是本论文的模型具有一定更好的优点，从而在各个装置上达到比较好的效果。

研究方法详析

1. 理论模型构建

两个模型的统一

1. Groebner模型[4]：忽略中性粒子的charge exchange过程，导致中性粒子对等体的穿深更深。同时等体边界的ionisation导致密度增加与等体扩散输运（diffusive plasma transport）相抵。
2. Burrell模型[2]：认为中性粒子对等体的穿深也是一种扩散，同时引入charge exchange。此时本应得到和free stream model一致的方程，但由于台基温度下数值解的穿深反而吻合较好。（$\sigma_\text{CX}\nu_\text{th,i}\gg\sigma_\text{i}\nu_\text{th,e}$）

论文结合这两个模型，既考虑了Groebner模型的Franck-Condon(dissociation)，也考虑了Burrell模型的charge exchange neutral，即类free streaming。

方程

\begin{equation}\label{eq:1}
\begin{aligned}
\nabla \cdot \qty(D_\text{ped}\nabla n_e) &= -n_e \qty(n_\text{FC} + n_\text{CX})S_i \\
\end{aligned}
\end{equation}

\begin{equation}\label{eq:2}
\begin{aligned}
\nabla \cdot \qty(V_\text{FC}n_\text{FC}) &= -n_e \qty(n_\text{FC}S_i + n_\text{FC}S_\text{CX}) \\
\end{aligned}
\end{equation}

\begin{equation}\label{eq:3}
\begin{aligned}
\nabla \cdot \qty(V_\text{CX}n_\text{CX}) &= -n_e \qty(n_\text{CX}S_i – \frac{1}{2} n_\text{FC}S_\text{CX})
\end{aligned}
\end{equation}

其中$D_\text{ped}$是扩散系数，随径向分布；$S_i = \sigma_i \nu_\text{th,e}$是ionisation速率，与温度相关；$S_\text{CX} = \sigma_\text{CX} \nu_\text{th,i}$是charge exchange速率，也与温度相关。而$V_\text{FC}$和$V_\text{CX}$是对应两者的径向速度。另外几个参数设定如下：$\abs{V_\text{FC}} = \sqrt{8E_\text{FC}/\pi^2 M_i}$、$E_\text{FC} \sim 3 eV$、$\abs{V_\text{CX,r}}=\sqrt{2T_i/\pi M_i}$。另外式\eqref{eq:3}中的$1/2$表示向外的charge exchange的flux损失。

总结

• 基于中性粒子穿透和等离子体输运的物理机制
• 考虑了两种类型的中性粒子：
  • 低能量的Franck-Condon中性粒子
  • 高能量的电荷交换中性粒子
• 主要控制方程包括：
  • 径向扩散方程
  • 电离平衡方程
  • 电荷交换平衡方程

进一步，将$\nabla$化成一维差分$\dv{x}$，同时联立式\eqref{eq:1}，式\eqref{eq:2}，式\eqref{eq:3}消去$n_\text{FC}, n_\text{CX}$则可以得到：

\begin{equation}\label{eq:4}
\begin{aligned}
\dv{x} &\qty( \biggl \langle \abs{\nabla r}^2 \biggr \rangle D_\text{ped} \dv{n_e}{x}) \\
= & n_e S_i \biggl [\frac{S_i + S_\text{CX}}{S_i + S_\text{CX}/2}
\frac{ \biggl \langle \abs{\nabla r}^2 \biggr \rangle D_\text{ped}}
{\abs{V_\text{FC}}f_\text{FC}}\dv{n_e}{x}
– \frac{S_i + S_{CX}}{S_i + \frac{S_CX}{2}}\\
& \cross \frac{C}{\abs{V_\text{FC}}f_\text{FC}}
+ \qty(\frac{S_i + S_\text{CX}}{S_i + S_\text{CX}/2}
\frac{\abs{V_\text{CX}}f_\text{CX}}{\abs{V_\text{FC}}f_\text{FC}} – 1) \langle n_\text{CX} \rangle\biggr ]
\end{aligned}
\end{equation}

方程\eqref{eq:4}的各个系数通过不同方法可以定出来，其中最重要的一个是输运系数$D_\text{ped}$。

2. 输运系数模型

考虑输运项由新经典输运和湍流组成，其中湍流分为两部分，一个是KBM引起的，另一个是由温度梯度引起的湍流。即：

\begin{equation}\label{eq:5}
\begin{aligned}
D_\text{ped} = D_\text{NEO} + D_\text{TG} + D_\text{KBM}
\end{aligned}
\end{equation}

新经典输运

\begin{equation}\label{eq:6}
\begin{aligned}
D_\text{NEO} &= \frac{\chi_\text{NEO}}{2} = 0.05 \qty( \frac{\rho^2_s c_s}{a} )
\end{aligned}
\end{equation}

式\eqref{eq:6}中的$\rho_s$是离子拉莫尔半径、$c_s$是离子声速、$a$是托卡马克小半径。

温度梯度驱动湍流输运

\begin{equation}\label{eq:7}
\begin{aligned}
D_\text{TG} &= \qty(\frac{D}{\chi})_\text{TG}
\frac{P_\text{tot,e}}{Sn_e\nabla T}
\end{aligned}
\end{equation}

式\eqref{eq:7}中的$P_\text{tot,e}/S$是total power flux由穿越台基的电子驱动，而$\qty(\frac{D}{\chi})_\text{TG}$代表有温度梯度驱动的湍流在电子热流的占比，可调节。

动力学气球模式输运

\begin{equation}\label{eq:8}
\begin{aligned}
D_\text{KBM} &=
\begin{cases}
C_\text{KBM}\qty(\alpha – \alpha_\text{crit}) \cdot \qty(\frac{\rho^2_s c_s}{a}), & \alpha > \alpha_\text{crit}\\
0, & \alpha < \alpha_\text{crit}
\end{cases}
\end{aligned}
\end{equation}

\begin{equation}\label{eq:9}
\begin{aligned}
\text{With} \,\, \alpha = \frac{2 \dv*{V}{\psi}}{\qty(2\pi)^2}
\qty(\frac{V}{2\pi^2 R_0})^{1/2} \mu_0 \dv{p}{\psi}
\end{aligned}
\end{equation}

式\eqref{eq:8}中的$C_\text{KBM}$是KBM驱动湍流的强度，$\alpha$是归一化压强梯度。式\eqref{eq:9}中的$V$是等离子体体积，$R_0$是等离子体几何中心，$\psi$是极向磁通，$p$是压强。

• 关键参数：
  • $\qty(\frac{D}{\chi})_\text{TG}$：温度梯度驱动湍流的粒子与热输运系数比
  • $C_\text{KBM}$：KBM湍流强度系数
  • $\alpha_\text{crit}$：临界归一化压力梯度

模型应用（论文数据部分）

三个装置数据应用

• standalone使用实验测量温度预测密度剖面，Europed则从参数出发预测密度和温度。
• 原本使用JET的数据$C_\text{KBM} = 0.1$, $\qty(\frac{D}{\chi})_\text{TG} = 0.3$匹配得更好。因为下面两个原因改成0和0.5了。
  • 这两个参数并不太敏感
  • 为了避免KBM的feedback loop

• JET数据：
  • standalone：均方根误差(RMSE) = 15%
  • EuroPED：RMSE = 19%
• ASDEX Upgrade：
  • standalone：RMSE = 21%
  • EuroPED模式：RMSE = 13%

进一步尝试现实的参数$C_\text{KBM} = 1$, $\qty(\frac{D}{\chi})_\text{TG} = 0.05$, $\alpha_\text{crit} = 2$(JET and Aug), $\alpha_\text{crit} = 5$(MAST-U)

separatrix density参数

$n_\text{e, sep}$无法在实验之前获得，所以使用Kallenbach理论来预测$n_\text{e, sep}$。温度的RMSE来到36%、密度的RMSE来到23%，有一定增加。可见模型对参数separatrix density还是比较敏感的。

• 参数适应性强：同一组参数可适用于不同装置
• 物理机制完整：包含了主要的输运过程
• 预测能力强：可以预测不同运行条件下的密度基座

同位素效应

同位素导致质量增加$A_\text{eff} = m_i/m_p$，从而进一步影响$n_\text{e,sep} \sim A_\text{eff}^{0.5}$

另外动理学模拟得出结论 参数$\qty(\frac{D}{\chi})_{TG}$会下降。

hydrogen	$\qty(\frac{D}{\chi})_{TG}=1$
deuterium	$\qty(\frac{D}{\chi})_{TG}=0.5$
tritium	$\qty(\frac{D}{\chi})_{TG}=0.25$

球马克的预测

结论与展望

结论

• 一套输运参数适用于各个设备，同时与动理学模拟相印证。
• 可以用于同位素模拟

展望

• 对separatrix density过于敏感
• 分析改进基于KBM的EPED的可能性
  • EPED以密度为输入，温度为输出，形成反馈机制。
  • EPED考虑KBM为主要物理模型
  • 但是最初输入的不含KBM输运
  • 将EPED中的KBM限制替换成固定压强得到温度的模型可能更好。
• 尽管三个参数不需改变，有根据等离子体快速得到模型的方法，可能预测得更准确。
• 台基密度也同理，如果有刮削层模型，能使得预测更准确