迄今为止的所有物理理论, 都是在一定能标下的近似理论. 我们远未知道适用于任意能标的所谓 “大统一理论” 长什么样. 那为何目前的理论对于实验的描述是有效的呢? 在 Wilson 等人的努力下, 我们现在已经知道, 自然界不同尺度的物理学是解耦的. 例如, 不管高能标下的物理理论长什么样子(超弦理论? 圈量子引力? …), 它在足够低的能标下都会表现得像一个场论. 这就是量子场论尽管只是低能标下的近似理论, 但非常有效的原因.
我们假定在能标 $\mu$ 下, 描述系统的某个有效理论的配分函数为
\begin{equation*}
\begin{aligned}
Z=Z\qty(\mu,J).
\end{aligned}
\end{equation*}
其中 $J=\qty(\qty{J_s})$ 为定义该理论的一组参数. 例如, 对于固体晶格, 由相邻格点自旋磁矩的耦合常数 $j$, 以及外加磁场 $H$, 我们就可以通过参数 $J=\frac{j}{k_BT}$ 和 $h=\frac{Hg\mu_B}{\mu_0 k_BT}$ 定义一个叫做 “Ising 模型” 的理论,
\begin{equation*}
\begin{aligned}
Z=\sum_{\qty{\sigma_i=\pm 1}}\exp\qty(-J\sum_{\left< ij \right>}\sigma_i\sigma_j+h\sum_{i}\sigma_i);
\end{aligned}
\end{equation*}
而对于带电粒子的电磁相互作用, 由带电粒子的物理质量 $m$, 以及物理电荷 $q$, 我们就可以定义一个叫做 “量子电动力学” 的理论,
\begin{equation*}
\begin{aligned}
Z=\int\mathcal{D}\bar{\psi}\mathcal{D}\psi\mathcal{D}A\exp\qty{\ii\int\dd[d]x\qty[\bar{\psi}\qty(\ii\gamma^\mu D_\mu-m)\psi-\frac{1}{4}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}+\frac{1}{2\xi}\qty(\partial_\mu A^\mu)^2]};
\end{aligned}
\end{equation*}
$q$ 被隐含在协变微商中, $D_\mu=\partial_\mu+\ii qA_\mu$. 等等诸如此类.
我们现在降低能标, $\mu\to\tilde{\mu}=\frac{\mu}{l}$. 同时, 我们希望仍然用该理论来有效地描述系统. 为此, 我们需要能够保持配分函数最多相差一个常数因子. 这就要求 $J$ 随 $\mu$ 同步地发生变化, $J\to\tilde{J}$,
\begin{equation*}
\begin{aligned}
Z\qty(\tilde{\mu},\tilde{J})=\mathcal{C}\qty(\mu,J) Z\qty(\mu,J).
\end{aligned}
\end{equation*}
由此导出 $J$ 随 $\mu$ 变化的方程, 称为重整化群方程,
\begin{equation}\label{eq:重整化群方程}
\begin{aligned}
\mu\dv[]{J}{\mu}=\beta\qty(J).
\end{aligned}
\end{equation}
重整化群方程式 \eqref{eq:重整化群方程} 中的 $\beta$ 函数若存在零点 $J_\ast$, 则系统在该点具有标度不变形. 也就是无论 $\mu$ 如何变化, $J$ 都不变. 我们关心在不动点 $J_\ast$ 附近的重整化群流. 取 $J=J_\ast+\delta J$, $\tilde{J}=J_\ast+\delta\tilde{J}$, $l=1+\epsilon$, 则将重整化群方程保留到 $\delta J$ 的一阶项可得
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\frac{\delta\tilde{J}-\delta J}{\epsilon}\simeq M_\ast\delta J,
\end{aligned}
\end{equation*}
其中 $M_\ast$ 是 $J$ 空间中的一个线性变换. 由此可得, 在不动点 $J_\ast$ 附近,
\begin{equation}\label{eq:不动点附近耦合参数在标度变换下的变换关系}
\begin{aligned}
\delta\tilde{J}\simeq\qty(1+M_\ast\epsilon)\delta J.
\end{aligned}
\end{equation}
由此可以研究不动点附近的物理.
例如, 对于二级及更高级的相变, 其临界指数就可以由重整化群理论求得. 在相变临界点 $K_c$ 附近, 系统的某些物理量的奇异部分将表现出幂律发散,
\begin{equation*}
\begin{aligned}
&f(a,K)=f_F\qty(a,K)+f_S\qty(a,K),\\
&f_S\qty(a,0,\cdots,K_i,\cdots,0)\sim\abs{\delta K_i}^{-\nu_{fi}}.
\end{aligned}
\end{equation*}
在临界点附近, 系统的整体涨落占据主导地位,
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\left<\phi\qty(x)\phi\qty(y)\right>\sim\frac{\ee^{-\frac{\abs{x-y}}{\xi}}}{\abs{x-y}^{d-2+\eta}}.
\end{aligned}
\end{equation*}
在临界点处, 关联长度 $\xi\to\infty$. 此时系统具有标度不变性. 而在临界点附近, 通过不断做标度变换 $a\to la$, 可以让某些 $K_i$ 逐渐流向临界点 $K_c$, 而让另一些 $K_i$ 逐渐远离临界点 $K_c$. 那些逐渐流向临界点的 $K_i$ 最终会变成平庸的参数, 因而这些参数被称为非关涉量; 只有那些逐渐远离临界点的 $K_i$ 在经过多次标度变换后能够在有效理论中得以保留. 因而这些参数被称为关涉量. 由此可以看出, 相变临界点对应着重整化群的不稳定不动点. 在不稳定不动点 $K_c$ 附近, 对式 \eqref{eq:不动点附近耦合参数在标度变换下的变换关系} 作对角化处理,
\begin{equation}\label{eq:对角化处理后不动点附近耦合参数在标度变换下的变换关系}
\begin{aligned}
\delta\tilde{K}_i=\qty(1+\lambda_i\epsilon)\delta K_i.
\end{aligned}
\end{equation}
假设在标度变换 $a\to\tilde{a}$ 下, 物理量 $f\qty(a,K)$ 作为广义齐次函数的变换方式为
\begin{equation*}
\begin{aligned}
f\qty(\tilde{a},\tilde{K})=\qty(\frac{\tilde{a}}{a})^{\Delta_f}f\qty(a,K).
\end{aligned}
\end{equation*}
只需令 $\tilde{a}=la=\qty(1+\epsilon)a$ 即可知,
\begin{equation}\label{eq:不动点附近幂律发散的物理量在标度变换下的变换方式}
\begin{aligned}
\abs{\delta\tilde{K_i}}^{-\nu_{fi}}=\qty(1+\epsilon)^{\Delta_f}\abs{\delta K_i}^{-\nu_{fi}}.
\end{aligned}
\end{equation}
结合式 \eqref{eq:对角化处理后不动点附近耦合参数在标度变换下的变换关系} 和式 \eqref{eq:不动点附近幂律发散的物理量在标度变换下的变换方式} 即可知,
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\nu_{fi}=-\frac{\Delta_f}{\lambda_i}.
\end{aligned}
\end{equation*}
这样, 我们就用重整化群方法计算出了相变的临界指数.
我们还可以用重整化群方法来研究有效场论. 对于分别定义在不同能标 $\Lambda$ 和 $\tilde{\Lambda}=\frac{\Lambda}{l}$ 以下的两个场论 $\phi_\Lambda\qty(x)=\int_{\abs{\bm{k}}<\Lambda}\frac{\dd[d]k}{\qty(2\pi)^d}\tilde{\phi}\qty(k)\ee^{-\ii k\dotproduct x}$ 和 $\phi_{\tilde{\Lambda}}\qty(x)=\int_{\abs{\bm{k}}<\tilde{\Lambda}}\frac{\dd[d]k}{\qty(2\pi)^d}\tilde{\phi}\qty(k)\ee^{-\ii k\dotproduct x}$, 我们把 $\phi_\Lambda$ 的高能标对应的自由度积掉, \begin{equation*} \begin{aligned} Z_\Lambda\qty[S_\Lambda]=&{}\int\mathcal{D}\phi_\Lambda\exp\qty{-S^{\text{wick}}\qty[\phi_\Lambda]}\\ =&{}\int\mathcal{D}\phi_{\tilde{\Lambda}}\mathcal{D}\tilde{\phi}_l\exp\qty{-S^{\text{wick}}_\Lambda\qty[\phi_{\tilde{\Lambda}}+\tilde{\phi}_l]}\\ =&{}\mathcal{C}_l\int\mathcal{D}\phi_{\tilde{\Lambda}}\exp\qty{-S^{\text{wick}}_{\tilde{\Lambda}}\qty[\phi_{\tilde{\Lambda}}]}\\ =&{}\mathcal{C}_lZ_{\tilde{\Lambda}}\qty[S_{\tilde{\Lambda}}]. \end{aligned} \end{equation*} 可见我们用一个新作用量 $S_{\tilde{\Lambda}}$ 来消除了标度变换的影响, 使得标度变换前后的配分函数等价. 为了将 $\phi_{\tilde{\Lambda}}$ 提升为某个 $\Lambda$ 以下都适用的场论, 我们作标度变换, \begin{equation*} \begin{aligned} \tilde{\phi}_\Lambda\qty(x)=\sqrt{Z_l}\phi_{\tilde{\Lambda}}\qty(lx). \end{aligned} \end{equation*} 即 \begin{equation*} \begin{aligned} \tilde{\phi}_\Lambda\qty(x)=&{}\sqrt{Z_l}\int_{\abs{\bm{k}}<\tilde{\Lambda}}\frac{\dd[d]k}{\qty(2\pi)^d}\tilde{\phi}\qty(k)\ee^{-\ii k\dotproduct lx}\\ =&{}\frac{\sqrt{Z_l}}{l^d}\int_{\abs{\bm{k}}<\Lambda}\frac{\dd[d]k}{\qty(2\pi)^d}\tilde{\phi}\qty(\frac{k}{l})\ee^{-\ii k\dotproduct x}\\ =&{}\frac{\sqrt{Z_l}}{l^d}\int_{\abs{\bm{k}}<\Lambda}\frac{\dd[d]k}{\qty(2\pi)^d}\tilde{\phi}_l\qty(k)\ee^{-\ii k\dotproduct x}, \end{aligned} \end{equation*} 其中 $Z_l$ 为场强重整化因子. 我们让作用量也同步变化, $\tilde{S}_\Lambda\qty[\tilde{\phi}_\Lambda]=S_{\tilde{\Lambda}}\qty[\phi_{\tilde{\Lambda}}]$. 这样我们就用一个有效场论 $\tilde{S}_\Lambda\qty[\tilde{\phi}_\Lambda]$ 来描述了低能标下的物理. 而重整化群方程式 \eqref{eq:重整化群方程} 则将不同标度的物理联系在了一起.