Wigner 定理是量子力学中的一个基本定理. 它表明, 在适当的相位选择下, 可逆的保概率变换要么是幺正线性变换, 要么是反幺正反线性变换. 幺正线性变换是指,
\begin{equation*}
\begin{aligned}
&\braket{U\Psi}{U\Phi}=\braket{\Psi}{\Phi},\\
&U\qty(\alpha\Psi+\beta\Phi)=\alpha U\Psi+\beta U\Phi.
\end{aligned}
\end{equation*}
反幺正反线性变换是指
\begin{equation*}
\begin{aligned}
&\braket{U\Psi}{U\Phi}=\braket{\Psi}{\Phi}^\ast;\\
&U\qty(\alpha\Psi+\beta\Phi)=\alpha^\ast U\Psi+\beta^\ast U\Phi.
\end{aligned}
\end{equation*}
其中, $U$ 为可逆的保概率变换算符, “保概率”是指
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\abs{\braket{U\Psi}{U\Phi}}^2=\abs{\braket{\Psi}{\Phi}}^2.
\end{aligned}
\end{equation*}
以上各式中, $\Psi$ 和 $\Phi$ 为 Hilbert 空间中的任意归一化矢量, $\alpha$, $\beta$ 为任意复数.
我们按照量子力学的通常约定, 认定系统的状态由 Hilbert 空间中的归一化射线表示, 即 $\text{stat.}=\ee^{\ii\mathbb{R}}\Psi$, $\forall\Psi\in\mathscr{H}$ 且 $\braket{\Psi}{\Psi}=1$, 其中 $\mathscr{H}$ 为系统的 Hilbert 空间, $\braket{\cdot}{\cdot}$ 为 $\mathscr{H}$ 上定义的内积. 系统所有可能的状态所组成的集合为系统的态空间, 即 $\partial\mathscr{H}_\mathrm{u}/\sim$, 其中 $\partial\mathscr{H}_\mathrm{u}$ 为 $\mathscr{H}$ 中所有满足 $\braket{\Psi}{\Psi}=1$ 的元素 $\Psi$ 所组成的集合, 被 $\partial\mathscr{H}_\mathrm{u}$ 模掉的等价关系 $\sim$ 定义为 “$\forall \Psi,\Phi\in\mathscr{H}$, 若 $\exists \theta\in\mathbb{R}$ 使得 $\Phi=\ee^{\ii\theta}\Psi$, 则 $\Psi\sim\Phi$”.
由于 $\partial\mathscr{H}_\mathrm{u}/\sim$ 的拓扑结构较为复杂, 直接研究起来不方便, 因此我们先不考虑对等价关系的模. 在 $\partial\mathscr{H}_\mathrm{u}$ 中任取两个元素 $\Psi$ 和 $\Phi$, 假设有一个可逆的保概率变换使它们分别变成了 $\Psi^\prime$ 和 $\Phi^\prime$,
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\abs{\braket{\Psi^\prime}{\Phi^\prime}}^2=\abs{\braket{\Psi}{\Phi}}^2.
\end{aligned}
\end{equation*}
我们总可以在 $\partial\mathscr{H}_\mathrm{u}$ 中找到一组(可数的)正交归一完备基 $\qty(\qty{\xi_n})$. 对于任意一组基 $\qty(\qty{\Xi_n})$, 通过将内积矩阵 $\qty(\qty{\braket{\Xi_n}{\Xi_m}})$ 对角化为单位矩阵(在有限维的情形中, 由基的线性无关性和复数域的代数封闭性, 这总是可以做到的. 对于可数无限维的情形, 我们无意引入泛函分析等过多技术性的数学内容, 因此不加证明地将有限维的结论推广到可数无限维的情形. 由于 Hilbert 空间的良好性质, 这种推广可以证明是正确的), 即可将 $\qty(\qty{\Xi_n})$ 变成一组正交归一完备基 $\qty(\qty{\xi_n})$. 在可逆的保概率变换后, 假设 $\xi_n$ 变成了 $\xi_n^\prime$, 则
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\abs{\braket{\xi_n^\prime}{\xi_m^\prime}}^2=\abs{\braket{\xi_n}{\xi_m}}^2=\qty(\delta_{nm})^2,\forall n,m\in\mathbb{Z},
\end{aligned}
\end{equation*}
因而
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\braket{\xi_n^\prime}{\xi_m^\prime}=&{}\ee^{\ii\alpha_{nm}}\delta_{nm}\\
=&{}\ee^{\ii\alpha_{nn}}\delta_{nm},\forall n,m\in\mathbb{Z},\alpha_{nm}\in\mathbb{R}.
\end{aligned}
\end{equation*}
但由内积的定义, $\braket{\xi_n^\prime}{\xi_n^\prime}\in\left(0,\infty\right)$. 因此 $\ee^{\ii\alpha_{nm}}=1$, 从而
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\braket{\xi_n^\prime}{\xi_m^\prime}=&{}\delta_{nm},\forall n,m\in\mathbb{Z}.
\end{aligned}
\end{equation*}
即可逆的保概率变换不改变各 $\xi_n$ 的正交归一性. 进一步可以证明它也不会改变 $\qty(\qty{\xi_n})$ 的完备性. 若 $\exists\varphi^\prime\in\mathscr{H}$ 使得 $\braket{\xi_n}{\varphi^\prime}=0$, $\forall n\in\mathbb{Z}$, 则由可逆保概率变换的可逆性, 总可以找到唯一的元素 $\varphi$, 使得 $\varphi$ 被变换为 $\varphi^\prime$. 再由可逆保概率变换的保概率性, 有
\begin{equation*}
\begin{aligned}
0=\abs{\braket{\xi_n^\prime}{\varphi^\prime}}^2=\abs{\braket{\xi_n}{\varphi}}^2,\forall n\in\mathbb{Z}.
\end{aligned}
\end{equation*}
但 $\qty(\qty{\xi_n})$ 是完备的. 因此 $\varphi=0$, 继续由可逆保概率变换的保概率性, 有
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\abs{\braket{\varphi^\prime}{\varphi^\prime}}^2=\abs{\braket{\varphi}{\varphi}}^2=0.
\end{aligned}
\end{equation*}
由内积的定义, 这仅当 $\varphi^\prime=0$ 时才能成立, 因此 $\qty(\qty{\xi_n^\prime})$ 是完备的. 从而 $\qty(\qty{\xi_n^\prime})$ 与 $\qty(\qty{\xi_n})$ 类似, 也是一组正交归一完备基, 可逆的保概率变换不改变基的正交归一性和完备性. 我们可以将 $\Psi$ 和 $\Psi^\prime$ 分别用 $\qty(\qty{\xi_n})$ 和 $\qty(\qty{\xi_n^\prime})$ 展开,
\begin{equation*}
\begin{aligned}
&\Psi=\sum_n\Psi_n\xi_n,\\
&\Psi^\prime=\sum_n\Psi_n^\prime\xi_n^\prime.
\end{aligned}
\end{equation*}
在各 $\Psi_n$ 中任意选一个不为零的系数, 假设该系数为 $\Psi_r$. 由可逆保概率变换的保概率性, 有
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\abs{\braket{\xi_n^\prime}{\Psi^\prime}}^2=\abs{\braket{\xi_n}{\Psi}}^2,\forall n\in\mathbb{Z},
\end{aligned}
\end{equation*}
再由 $\qty(\qty{\xi_n})$ 和 $\qty(\qty{\xi_n^\prime})$ 的正交归一性, 有
\begin{equation}\label{eq:变换前后态的展开系数关系}
\begin{aligned}
\abs{\Psi_n^\prime}^2=\abs{\Psi_n}^2,\forall n\in\mathbb{Z}.
\end{aligned}
\end{equation}
因此 $\abs{\Psi_r^\prime}^2=\abs{\Psi_r}^2\neq 0$, 即 $\Psi_r^\prime\neq 0$. 从而
\begin{equation}\label{eq:变换前后态的展开系数比值关系}
\begin{aligned}
\abs{\frac{\Psi_n^\prime}{\Psi_r^\prime}}^2=\abs{\frac{\Psi_n}{\Psi_r}}^2,\forall n\in\mathbb{Z}.
\end{aligned}
\end{equation}
定义
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\Theta^{\qty(r)}_{n}=\frac{1}{\sqrt{2\qty(1+\delta_{rn})}}\qty(\xi_r+\xi_n),\forall n\in\mathbb{Z}.
\end{aligned}
\end{equation*}
直接计算即可验证 $\Theta^{\qty(r)}_{n}\in\partial\mathscr{H}_\mathrm{u}$. 设 $\Theta^{\qty(r)}_{n}$ 在可逆的保概率变换下被变换为 $\Theta^{\prime\qty(r)}_{n}$. 由可逆保概率变换的保概率性, 有
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\abs{\braket{\xi_m^\prime}{\Theta^{\prime\qty(r)}_{n}}}^2=&{}\abs{\braket{\xi_m}{\Theta^{\qty(r)}_{n}}}^2\\
=&{}\frac{\qty(\delta_{mr}+\delta_{mn})^2}{2\qty(1+\delta_{rn})},\forall m,n\in\mathbb{Z}.
\end{aligned}
\end{equation*}
因此
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\braket{\xi_m^\prime}{\Theta^{\prime\qty(r)}_{n}}=\ee^{\ii\alpha^{\qty(r)}_{mn}}\frac{\delta_{mr}+\delta_{mn}}{\sqrt{2\qty(1+\delta_{rn})}},\forall m,n\in\mathbb{Z},\alpha^{\qty(r)}_{mn}\in\mathbb{R}.
\end{aligned}
\end{equation*}
由 $\qty(\qty{\xi_n^\prime})$ 的完备性, 有
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\Theta^{\prime\qty(r)}_{n}=&{}\sum_m\xi_m^\prime\braket{\xi_m^\prime}{\Theta^{\prime\qty(r)}_{n}}\\
=&{}\frac{1}{\sqrt{2\qty(1+\delta_{rn})}}\qty(\ee^{\ii\alpha^{\qty(r)}_{rn}}\xi_r^\prime+\ee^{\ii\alpha^{\qty(r)}_{nn}}\xi_n^\prime),\forall n\in\mathbb{Z}.
\end{aligned}
\end{equation*}
即
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\ee^{-\ii\alpha^{\qty(r)}_{rn}}\Theta^{\prime\qty(r)}_{n}=\frac{1}{\sqrt{2\qty(1+\delta_{rn})}}\qty(\xi_r^\prime+\ee^{\ii\qty(\alpha^{\qty(r)}_{nn}-\alpha^{\qty(r)}_{rn})}\xi_n^\prime),\forall n\in\mathbb{Z}.
\end{aligned}
\end{equation*}
定义 $\tilde{\Theta}^{\prime\qty(r)}_{n}=\ee^{-\ii\alpha^{\qty(r)}_{rn}}\Theta^{\prime\qty(r)}_{n}$, $\tilde{\xi}_n^{\prime\qty(r)}=\ee^{\ii\qty(\alpha^{\qty(r)}_{nn}-\alpha^{\qty(r)}_{rn})}\xi_n^\prime$($n$ 包括 $r$). 则
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\tilde{\Theta}^{\prime\qty(r)}_{n}=\frac{1}{\sqrt{2\qty(1+\delta_{rn})}}\qty(\tilde{\xi}_r^{\prime\qty(r)}+\tilde{\xi}_n^{\prime\qty(r)}),\forall n\in\mathbb{Z}.
\end{aligned}
\end{equation*}
利用各 $\tilde{\xi}_n^{\prime\qty(r)}$(包括 $\tilde{\xi}_r^{\prime\qty(r)}$), 可将 $\Psi^\prime$ 重新表为
\begin{equation}\label{eq:态用变换再变换后的基展开}
\begin{aligned}
\Psi^\prime=&{}\sum_n\Psi_n^\prime\xi_n^\prime\\
=&{}\sum_n\tilde{\Psi}_n^{\prime\qty(r)}\tilde{\xi}_n^{\prime\qty(r)},
\end{aligned}
\end{equation}
其中, $\tilde{\Psi}_n^{\prime\qty(r)}=\ee^{-\ii\qty(\alpha^{\qty(r)}_{nn}-\alpha^{\qty(r)}_{rn})}\Psi_n^\prime$. 直接计算即可证明 $\qty(\qty{\tilde{\xi}_n^{\prime\qty(r)}})$ 的正交归一性,
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\braket{\tilde{\xi}_n^{\prime\qty(r)}}{\tilde{\xi}_m^{\prime\qty(r)}}=&{}\ee^{-\ii\qty(\alpha^{\qty(r)}_{nn}-\alpha^{\qty(r)}_{rn}-\alpha^{\qty(r)}_{mm}+\alpha^{\qty(r)}_{rm})}\braket{\xi_n^\prime}{\xi_m^\prime}\\
=&{}\ee^{-\ii\qty(\alpha^{\qty(r)}_{nn}-\alpha^{\qty(r)}_{rn}-\alpha^{\qty(r)}_{mm}+\alpha^{\qty(r)}_{rm})}\delta_{nm}\\
=&{}\ee^{-\ii\qty(\alpha^{\qty(r)}_{nn}-\alpha^{\qty(r)}_{rn}-\alpha^{\qty(r)}_{nn}+\alpha^{\qty(r)}_{rn})}\delta_{nm}\\
=&{}\delta_{nm},\forall n,m\in\mathbb{Z}.
\end{aligned}
\end{equation*}
而 $\qty(\qty{\tilde{\xi}_n^{\prime\qty(r)}})$ 的完备性已体现在式 \eqref{eq:态用变换再变换后的基展开} 中, 因为 $\Psi^\prime$ 可以是 $\mathscr{H}$ 中的任意元素(尽管式 \eqref{eq:态用变换再变换后的基展开} 中的 $\Psi^\prime$ 仅限于取 $\partial\mathscr{H}_\mathrm{u}$ 中的元素, 但 $\mathscr{H}$ 中任意元素以 $\qty(\qty{\xi_n^\prime})$ 为基的展开式显然也可以按照与式 \eqref{eq:态用变换再变换后的基展开} 相同的方式变换为以 $\qty(\qty{\tilde{\xi}_n^{\prime\qty(r)}})$ 为基的展开式).
由可逆保概率变换的保概率性, 有
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\abs{\braket{\tilde{\Theta}^{\prime\qty(r)}_{n}}{\Psi^\prime}}^2=&{}\abs{\braket{\Theta^{\prime\qty(r)}_{n}}{\Psi^\prime}}^2\\
=&{}\abs{\braket{\Theta^{\qty(r)}_{n}}{\Psi}}^2,\forall n\in\mathbb{Z},
\end{aligned}
\end{equation*}
即
\begin{equation}\label{eq:变换再变换后态的展开系数与原展开系数的关系}
\begin{aligned}
\abs{\tilde{\Psi}_r^{\prime\qty(r)}+\tilde{\Psi}_n^{\prime\qty(r)}}^2=\abs{\Psi_r+\Psi_n}^2,\forall n\in\mathbb{Z}.
\end{aligned}
\end{equation}
考虑到式 \eqref{eq:变换前后态的展开系数比值关系}, 有
\begin{equation}\label{eq:变换再变换前后态的展开系数比值关系}
\begin{aligned}
\abs{\frac{\tilde{\Psi}_n^{\prime\qty(r)}}{\tilde{\Psi}_r^{\prime\qty(r)}}}^2=\abs{\frac{\Psi_n^\prime}{\Psi_r^\prime}}^2=\abs{\frac{\Psi_n}{\Psi_r}}^2,\forall n\in\mathbb{Z}.
\end{aligned}
\end{equation}
再由式 \eqref{eq:变换前后态的展开系数关系}, 式 \eqref{eq:变换再变换后态的展开系数与原展开系数的关系}, 有
\begin{equation}\label{eq:变换再变换前后态的展开系数加一的比值关系}
\begin{aligned}
\abs{1+\frac{\tilde{\Psi}_n^{\prime\qty(r)}}{\tilde{\Psi}_r^{\prime\qty(r)}}}^2=\abs{1+\frac{\Psi_n}{\Psi_r}}^2,\forall n\in\mathbb{Z}.
\end{aligned}
\end{equation}
由式 \eqref{eq:变换再变换前后态的展开系数比值关系} 和式 \eqref{eq:变换再变换前后态的展开系数加一的比值关系} 可以得到
\begin{equation}\label{eq:变换再变换前后态的展开系数比值的实部和虚部的关系}
\begin{aligned}
&\Re\qty(\frac{\tilde{\Psi}_n^{\prime\qty(r)}}{\tilde{\Psi}_r^{\prime\qty(r)}})=\Re\qty(\frac{\Psi_n}{\Psi_r}),\\
&\Im\qty(\frac{\tilde{\Psi}_n^{\prime\qty(r)}}{\tilde{\Psi}_r^{\prime\qty(r)}})=\pm\Im\qty(\frac{\Psi_n}{\Psi_r}),\forall n\in\mathbb{Z}.
\end{aligned}
\end{equation}
因而
\begin{equation}\label{eq:变换再变换前后态的展开系数比值只有两种可能}
\begin{aligned}
\frac{\tilde{\Psi}_n^{\prime\qty(r)}}{\tilde{\Psi}_r^{\prime\qty(r)}}=\frac{\Psi_n}{\Psi_r}\text{\ 或\ }\qty(\frac{\Psi_n}{\Psi_r})^\ast,\forall n\in\mathbb{Z}.
\end{aligned}
\end{equation}
假设对于指标 $k$, $\frac{\tilde{\Psi}_k^{\prime\qty(r)}}{\tilde{\Psi}_r^{\prime\qty(r)}}=\frac{\Psi_k}{\Psi_r}$; 对于指标 $l$, $\frac{\tilde{\Psi}_l^{\prime\qty(r)}}{\tilde{\Psi}_r^{\prime\qty(r)}}=\qty(\frac{\Psi_l}{\Psi_r})^\ast$. 定义
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\Delta_{kl}^{\qty(r)}=\frac{1}{\sqrt{3+2\qty(\delta_{rk}+\delta_{rl}+\delta_{kl})}}\qty(\xi_r+\xi_k+\xi_l).
\end{aligned}
\end{equation*}
设 $\Delta_{kl}^{\qty(r)}$ 在可逆的保概率变换下变为 $\Delta_{kl}^{\prime\qty(r)}$. 将 $\Delta_{kl}^{\prime\qty(r)}$ 用 $\qty(\qty{\tilde{\xi}_n^{\prime\qty(r)}})$ 展开,
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\Delta_{kl}^{\prime\qty(r)}=\sum_n\tilde{\Delta}_{kl,n}^{\prime\qty(r)}\tilde{\xi}_n^{\prime\qty(r)},
\end{aligned}
\end{equation*}
则由式 \eqref{eq:变换再变换前后态的展开系数比值只有两种可能} 可知 $\frac{\tilde{\Delta}_{kl,n}^{\prime\qty(r)}}{\tilde{\Delta}_{kl,r}^{\prime\qty(r)}}=\frac{\delta_{nr}+\delta_{nk}+\delta_{nl}}{1+\delta_{rk}+\delta_{rl}}=\qty(\frac{\delta_{nr}+\delta_{nk}+\delta_{nl}}{1+\delta_{rk}+\delta_{rl}})^\ast$, 这是因为 $\frac{\delta_{nr}+\delta_{nk}+\delta_{nl}}{1+\delta_{rk}+\delta_{rl}}\in\mathbb{R}$. 因此
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\Delta_{kl}^{\prime\qty(r)}=\frac{\tilde{\Delta}_{kl,r}^{\prime\qty(r)}}{1+\delta_{rk}+\delta_{rl}}\qty(\tilde{\xi}_r^{\prime\qty(r)}+\tilde{\xi}_k^{\prime\qty(r)}+\tilde{\xi}_l^{\prime\qty(r)}).
\end{aligned}
\end{equation*}
由式 \eqref{eq:变换前后态的展开系数关系}, $\abs{\tilde{\Delta}_{kl,r}^{\prime\qty(r)}}^2=\abs{\frac{1}{\sqrt{3+2\qty(\delta_{rk}+\delta_{rl}+\delta_{kl})}}}^2$, 从而
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\tilde{\Delta}_{kl,r}^{\prime\qty(r)}=\frac{\ee^{\ii\beta_{kl}^{\qty(r)}}}{\sqrt{3+2\qty(\delta_{rk}+\delta_{rl}+\delta_{kl})}},\beta_{kl}^{\qty(r)}\in\mathbb{R}.
\end{aligned}
\end{equation*}
由此即可将 $\Delta_{kl}^{\prime\qty(r)}$ 表为
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\Delta_{kl}^{\prime\qty(r)}=\frac{\ee^{\ii\beta_{kl}^{\qty(r)}}}{\sqrt{3+2\qty(\delta_{rk}+\delta_{rl}+\delta_{kl})}}\qty(\tilde{\xi}_r^{\prime\qty(r)}+\tilde{\xi}_k^{\prime\qty(r)}+\tilde{\xi}_l^{\prime\qty(r)}).
\end{aligned}
\end{equation*}
由可逆保概率变换的保概率性, 有
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\abs{\braket{\Delta_{kl}^{\prime\qty(r)}}{\Psi^\prime}}^2=\abs{\braket{\Delta_{kl}^{\qty(r)}}{\Psi}}^2,
\end{aligned}
\end{equation*}
即
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\abs{\tilde{\Psi}_r^{\prime\qty(r)}+\tilde{\Psi}_k^{\prime\qty(r)}+\tilde{\Psi}_l^{\prime\qty(r)}}^2=\abs{\Psi_r+\Psi_k+\Psi_l}^2.
\end{aligned}
\end{equation*}
由式 \eqref{eq:变换前后态的展开系数关系}, 有
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\abs{1+\frac{\tilde{\Psi}_k^{\prime\qty(r)}}{\tilde{\Psi}_r^{\prime\qty(r)}}+\frac{\tilde{\Psi}_l^{\prime\qty(r)}}{\tilde{\Psi}_r^{\prime\qty(r)}}}^2=\abs{1+\frac{\Psi_k}{\Psi_r}+\frac{\Psi_l}{\Psi_r}}^2.
\end{aligned}
\end{equation*}
由式 \eqref{eq:变换再变换前后态的展开系数比值只有两种可能}, 有
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\abs{1+\frac{\Psi_k}{\Psi_r}+\qty(\frac{\Psi_l}{\Psi_r})^\ast}^2=\abs{1+\frac{\Psi_k}{\Psi_r}+\frac{\Psi_l}{\Psi_r}}^2.
\end{aligned}
\end{equation*}
即
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\Re\qty(\frac{\Psi_k}{\Psi_r}\frac{\Psi_l}{\Psi_r})=\Re\qty[\frac{\Psi_k}{\Psi_r}\qty(\frac{\Psi_l}{\Psi_r})^\ast].
\end{aligned}
\end{equation*}
考虑到
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\Re\qty(\frac{\Psi_k}{\Psi_r}\frac{\Psi_l}{\Psi_r})=&{}\Re\qty{\qty[\Re\qty(\frac{\Psi_k}{\Psi_r})+\ii\Im\qty(\frac{\Psi_k}{\Psi_r})]\qty[\Re\qty(\frac{\Psi_l}{\Psi_r})+\ii\Im\qty(\frac{\Psi_l}{\Psi_r})]}\\
=&{}\Re\qty{\qty[\Re\qty(\frac{\Psi_k}{\Psi_r})\Re\qty(\frac{\Psi_l}{\Psi_r})-\Im\qty(\frac{\Psi_k}{\Psi_r})\Im\qty(\frac{\Psi_l}{\Psi_r})]+\ii\qty[\Re\qty(\frac{\Psi_k}{\Psi_r})\Im\qty(\frac{\Psi_l}{\Psi_r})+\Im\qty(\frac{\Psi_k}{\Psi_r})\Re\qty(\frac{\Psi_l}{\Psi_r})]}\\
=&{}\Re\qty(\frac{\Psi_k}{\Psi_r})\Re\qty(\frac{\Psi_l}{\Psi_r})-\Im\qty(\frac{\Psi_k}{\Psi_r})\Im\qty(\frac{\Psi_l}{\Psi_r})
\end{aligned}
\end{equation*}
和
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\Re\qty[\frac{\Psi_k}{\Psi_r}\qty(\frac{\Psi_l}{\Psi_r})^\ast]=&{}\Re\qty{\qty[\Re\qty(\frac{\Psi_k}{\Psi_r})+\ii\Im\qty(\frac{\Psi_k}{\Psi_r})]\qty[\Re\qty(\frac{\Psi_l}{\Psi_r})-\ii\Im\qty(\frac{\Psi_l}{\Psi_r})]}\\
=&{}\Re\qty{\qty[\Re\qty(\frac{\Psi_k}{\Psi_r})\Re\qty(\frac{\Psi_l}{\Psi_r})+\Im\qty(\frac{\Psi_k}{\Psi_r})\Im\qty(\frac{\Psi_l}{\Psi_r})]+\ii\qty[\Im\qty(\frac{\Psi_k}{\Psi_r})\Re\qty(\frac{\Psi_l}{\Psi_r})-\Re\qty(\frac{\Psi_k}{\Psi_r})\Im\qty(\frac{\Psi_l}{\Psi_r})]}\\
=&{}\Re\qty(\frac{\Psi_k}{\Psi_r})\Re\qty(\frac{\Psi_l}{\Psi_r})+\Im\qty(\frac{\Psi_k}{\Psi_r})\Im\qty(\frac{\Psi_l}{\Psi_r}),
\end{aligned}
\end{equation*}
即可得到
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\Im\qty(\frac{\Psi_k}{\Psi_r})\Im\qty(\frac{\Psi_l}{\Psi_r})=0.
\end{aligned}
\end{equation*}
这意味着 $\Im\qty(\frac{\Psi_k}{\Psi_r})=0$ 或 $\Im\qty(\frac{\Psi_l}{\Psi_r})=0$, 即 $\frac{\Psi_k}{\Psi_r}\in\mathbb{R}$ 或 $\frac{\Psi_l}{\Psi_r}\in\mathbb{R}$. 如果是前一种情况, 则 $\frac{\Psi_k}{\Psi_r}=\qty(\frac{\Psi_k}{\Psi_r})^\ast$, 从而
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\frac{\tilde{\Psi}_k^{\prime\qty(r)}}{\tilde{\Psi}_r^{\prime\qty(r)}}=\frac{\Psi_k}{\Psi_r}=\qty(\frac{\Psi_k}{\Psi_r})^\ast;
\end{aligned}
\end{equation*}
如果是后一种情况, 则 $\qty(\frac{\Psi_l}{\Psi_r})^\ast=\frac{\Psi_l}{\Psi_r}$, 从而
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\frac{\tilde{\Psi}_l^{\prime\qty(r)}}{\tilde{\Psi}_r^{\prime\qty(r)}}=\qty(\frac{\Psi_l}{\Psi_r})^\ast=\frac{\Psi_l}{\Psi_r}.
\end{aligned}
\end{equation*}
可见, 不论是哪种情况, 都可以得出结论, 式 \eqref{eq:变换再变换前后态的展开系数比值只有两种可能} 虽然显示了两种可能, 但所有指标 $n$ 在这两种可能中的选择都必定相同, 不会出现不同指标有不同选择的情况. 因此我们可以将 $\Psi^\prime$ 用 $\qty(\qty{\tilde{\xi}_n^{\prime\qty(r)}})$ 展开为
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\Psi^\prime=\frac{\tilde{\Psi}_r^{\prime\qty(r)}}{\Psi_r}\sum_n\Psi_n\tilde{\xi}_n^{\prime\qty(r)}\text{\ 或\ }\frac{\tilde{\Psi}_r^{\prime\qty(r)}}{\Psi_r^\ast}\sum_n\Psi_n^\ast\tilde{\xi}_n^{\prime\qty(r)}.
\end{aligned}
\end{equation*}
定义 $\tilde{\Psi}^{\prime\qty(r)}=\frac{\Psi_r}{\tilde{\Psi}_r^{\prime\qty(r)}}\Psi^\prime$ 或 $\frac{\Psi_r^\ast}{\tilde{\Psi}_r^{\prime\qty(r)}}\Psi^\prime$, 则
\begin{equation}\label{eq:可逆保概率变换下单位模长的矢量的两种可能变换方式}
\begin{aligned}
\tilde{\Psi}^{\prime\qty(r)}=\sum_n\Psi_n\tilde{\xi}_n^{\prime\qty(r)}\text{\ 或\ }\sum_n\Psi_n^\ast\tilde{\xi}_n^{\prime\qty(r)}.
\end{aligned}
\end{equation}
由式 \eqref{eq:变换前后态的展开系数关系} 可知, $\abs{\frac{\Psi_r}{\tilde{\Psi}_r^{\prime\qty(r)}}}=\abs{\frac{\qty(\Psi_r)^\ast}{\tilde{\Psi}_r^{\prime\qty(r)}}}=1$, 因而 $\tilde{\Psi}^{\prime\qty(r)}$ 与 $\Psi^\prime$ 之间仅相差一个相位因子, 属于同一射线. 这意味着我们可以通过适当的相位选择, 将 $\Psi$ 变换后的元素认定为 $\tilde{\Psi}^{\prime\qty(r)}$ 而非 $\Psi^\prime$.
假设 $\partial\mathscr{H}_\mathrm{u}$ 中的两个元素 $\Psi=\mathop{\sum}\limits_n\Psi_n\xi_n$ 和 $\Phi=\mathop{\sum}\limits_n\Phi_n\xi_n$ 在可逆的保概率变换下分别变为 $\tilde{\Psi}^{\prime\qty(r)}=\mathop{\sum}\limits_n\Psi_n\tilde{\xi}_n^{\prime\qty(r)}$ 和 $\tilde{\Phi}^{\prime\qty(s)}=\mathop{\sum}\limits_n\Phi_n^\ast\tilde{\xi}_n^{\prime\qty(s)}$. 之所以用不同的指标 $r$ 和 $s$ 来标记 $\tilde{\Psi}^{\prime\qty(r)}$ 和 $\tilde{\Phi}^{\prime\qty(s)}$, 是因为在一般情况下, 不一定存在指标 $r$ 使得系数 $\Psi_r$ 和 $\Phi_r$ 都不为零. 但不论是否有 $r=s$, 都可以证明 $\qty(\qty{\tilde{\xi}_n^{\prime\qty(r)}})$ 和 $\qty(\qty{\tilde{\xi}_n^{\prime\qty(s)}})$ 之间的正交性,
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\braket{\tilde{\xi}_n^{\prime\qty(r)}}{\tilde{\xi}_m^{\prime\qty(s)}}=&{}\braket{\ee^{\ii\qty(\alpha^{\qty(r)}_{nn}-\alpha^{\qty(r)}_{rn})}\xi_n^\prime}{\ee^{\ii\qty(\alpha^{\qty(s)}_{mm}-\alpha^{\qty(s)}_{sm})}\xi_m^\prime}\\
=&{}\ee^{-\ii\qty(\alpha^{\qty(r)}_{nn}-\alpha^{\qty(r)}_{rn}-\alpha^{\qty(s)}_{mm}+\alpha^{\qty(s)}_{sm})}\braket{\xi_n^\prime}{\xi_m^\prime}\\
=&{}\ee^{-\ii\qty(\alpha^{\qty(r)}_{nn}-\alpha^{\qty(r)}_{rn}-\alpha^{\qty(s)}_{mm}+\alpha^{\qty(s)}_{sm})}\delta_{nm}\\
=&{}\ee^{-\ii\qty(\alpha^{\qty(r)}_{nn}-\alpha^{\qty(r)}_{rn}-\alpha^{\qty(s)}_{nn}+\alpha^{\qty(s)}_{sn})}\delta_{nm}.
\end{aligned}
\end{equation*}
先考虑存在指标 $r$ 使得系数 $\Psi_r$ 和 $\Phi_r$ 都不为零的情况. 在这种情况下, 有
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\braket{\tilde{\Psi}^{\prime\qty(r)}}{\tilde{\Phi}^{\prime\qty(r)}}=&{}\sum_{nm}\Psi_n^\ast\Phi_m^\ast\braket{\tilde{\xi}_n^{\prime\qty(r)}}{\tilde{\xi}_m^{\prime\qty(r)}}\\
=&{}\sum_{nm}\Psi_n^\ast\Phi_m^\ast\delta_{nm}\\
=&{}\sum_n\Psi_n^\ast\Phi_n^\ast.
\end{aligned}
\end{equation*}
再考虑不存在指标 $r$ 使得系数 $\Psi_r$ 和 $\Phi_r$ 都不为零的情况, 即对于任意指标 $n$, 都有 $\Psi_n=0$ 或 $\Phi_n=0$. 在这种情况下, $r\neq s$, 有
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\braket{\tilde{\Psi}^{\prime\qty(r)}}{\tilde{\Phi}^{\prime\qty(s)}}=&{}\sum_{nm}\Psi_n^\ast\Phi_m^\ast\braket{\tilde{\xi}_n^{\prime\qty(r)}}{\tilde{\xi}_m^{\prime\qty(s)}}\\
=&{}\sum_{nm}\Psi_n^\ast\Phi_m^\ast\ee^{-\ii\qty(\alpha^{\qty(r)}_{nn}-\alpha^{\qty(r)}_{rn}-\alpha^{\qty(s)}_{nn}+\alpha^{\qty(s)}_{sn})}\delta_{nm}\\
=&{}\sum_n\underbrace{\Psi_n^\ast\Phi_n^\ast}_{=0}\ee^{-\ii\qty(\alpha^{\qty(r)}_{nn}-\alpha^{\qty(r)}_{rn}-\alpha^{\qty(s)}_{nn}+\alpha^{\qty(s)}_{sn})}\\
=&{}\sum_n0\ee^{-\ii\qty(\alpha^{\qty(r)}_{nn}-\alpha^{\qty(r)}_{rn}-\alpha^{\qty(s)}_{nn}+\alpha^{\qty(s)}_{sn})}\\
=&{}\sum_n0\\
=&{}\sum_n\underbrace{\Psi_n^\ast\Phi_n^\ast}_{=0}.
\end{aligned}
\end{equation*}
因此, 不论是否存在指标 $r$ 使得系数 $\Psi_r$ 和 $\Phi_r$ 都不为零(即不论 $r$ 与 $s$ 是否能够取为相等), 都有
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\braket{\tilde{\Psi}^{\prime\qty(r)}}{\tilde{\Phi}^{\prime\qty(s)}}=\sum_n\Psi_n^\ast\Phi_n^\ast.
\end{aligned}
\end{equation*}
由可逆保概率变换的保概率性, 有
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\abs{\braket{\tilde{\Psi}^{\prime\qty(r)}}{\tilde{\Phi}^{\prime\qty(s)}}}^2=&{}\abs{\underbrace{\frac{\Psi_r}{\tilde{\Psi}_r^{\prime\qty(r)}}\frac{\Phi_s^\ast}{\tilde{\Phi}_s^{\prime\qty(s)}}}_{\text{仅贡献两个相位因子}}\braket{\Psi^\prime}{\Phi^\prime}}^2\\
=&{}\abs{\braket{\Psi^\prime}{\Phi^\prime}}^2\\
=&{}\abs{\braket{\Psi}{\Phi}}^2,
\end{aligned}
\end{equation*}
即
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\abs{\sum_n\Psi_n^\ast\Phi_n^\ast}^2=\abs{\sum_n\Psi_n^\ast\Phi_n}^2,
\end{aligned}
\end{equation*}
也就是
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\sum_{nm}\Psi_n^\ast\Phi_n^\ast\Psi_m\Phi_m=\sum_{nm}\Psi_n^\ast\Phi_n\Psi_m\Phi_m^\ast,
\end{aligned}
\end{equation*}
即
\begin{equation*}
\begin{aligned}
0=&{}\sum_{nm}\Psi_n^\ast\Psi_m\qty(\Phi_n^\ast\Phi_m-\Phi_n\Phi_m^\ast)\\
=&{}2\ii\sum_{nm}\Psi_n^\ast\Psi_m\Im\qty(\Phi_n^\ast\Phi_m)\\
=&{}-2\sum_{nm}\Im\qty(\Psi_n^\ast\Psi_m)\Im\qty(\Phi_n^\ast\Phi_m)+2\ii\sum_n\Re\qty(\Psi_n^\ast\Psi_m)\Im\qty(\Phi_n^\ast\Phi_m).
\end{aligned}
\end{equation*}
取其实部, 可知
\begin{equation}\label{eq:两个按不同规律变换的态各自与自身的直积的虚部所满足的关系}
\begin{aligned}
\sum_{nm}\Im\qty(\Psi_n^\ast\Psi_m)\Im\qty(\Phi_n^\ast\Phi_m)=0.
\end{aligned}
\end{equation}
这是 $\Psi$ 和 $\Phi$ 在可逆保概率变换下分别按式 \eqref{eq:可逆保概率变换下单位模长的矢量的两种可能变换方式} 中的两种方式变换所需满足的必要条件. $\Psi$ 和 $\Phi$ 可能且仅可能有以下四种情况,
- $\Psi=0$,
- $\Phi=0$,
- $\Psi,\Phi\neq 0$ 且 $\Psi\propto\Phi$,
- $\Psi,\Phi\neq 0$ 且 $\Psi$ 与 $\Phi$ 线性无关.
\begin{equation*}
\begin{aligned}
0=&{}\sum_{nm}\Im\qty(\Psi_n^\ast\Psi_m)\Im\qty(\Phi_n^\ast\Phi_m)\\
=&{}\sum_{nm}\qty[\Im\qty(\Phi_n^\ast\Phi_m)]^2,
\end{aligned}
\end{equation*}
这只有在 $\Im\qty(\Phi_n^\ast\Phi_m)=0,\forall n,m\in\mathbb{Z}$ 的情况下才能满足, 即 $\Phi_n^\ast\Phi_m\in\mathbb{R},\forall n,m\in\mathbb{Z}$. 将 $\Phi_n$ 的模与幅角分别写出来, $\Phi_n=\abs{\Phi_n}\ee^{\ii\varepsilon_n},\forall n\in\mathbb{Z}$, 则 $\varepsilon_n=\varepsilon_m,\forall n,m\in\mathbb{Z}$, 即所有的 $\Phi$ 有共同的相位因子, 可以统一记为 $\Phi_n=\abs{\Phi_n}\ee^{\ii\varepsilon},\forall n\in\mathbb{Z}$. 此时
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\tilde{\Phi}^{\prime\qty(r)}=&{}\sum_n\Phi_n^\ast\tilde{\xi}_n^{\prime\qty(r)}\\
=&{}\ee^{-\ii\varepsilon}\sum_n\abs{\Phi_n}\tilde{\xi}_n^{\prime\qty(r)}\\
=&{}\ee^{-2\ii\varepsilon}\sum_n\Phi_n\tilde{\xi}_n^{\prime\qty(r)}.
\end{aligned}
\end{equation*}
即 $\mathop{\sum}\limits_n\Phi_n^\ast\tilde{\xi}_n^{\prime\qty(r)}$ 与 $\mathop{\sum}\limits_n\Phi_n\tilde{\xi}_n^{\prime\qty(r)}$ 之间只相差一个相位因子, 因而属于同一射线. 它们与 $\Psi=\mathop{\sum}\limits_n\Psi_n\tilde{\xi}_n^{\prime\qty(r)}$ 这三者都属于同一射线, 选择 $\Psi$ 作为该射线的代表元素即可. 若是第四种情况, 则定义 $X\in\partial\mathscr{H}_\mathrm{u}$, 满足 $\Im\qty(X_n^\ast X_m)=\alpha\Im\qty(\Psi_n^\ast\Psi_m)+\beta\Im\qty(\Phi_n^\ast\Phi_m),\alpha,\beta\neq 0$. 因而由式 \eqref{eq:两个按不同规律变换的态各自与自身的直积的虚部所满足的关系}, 有
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\sum_{nm}\Im\qty(X_n^\ast X_m)\Im\qty(\Psi_n^\ast\Psi_m)=&{}\sum_{nm}\qty{\alpha\qty[\Im\qty(\Psi_n^\ast\Psi_m)]^2+\beta\Im\qty(\Phi_n^\ast\Phi_m)\Im\qty(\Psi_n^\ast\Psi_m)}\\
=&{}\alpha\sum_{nm}\qty[\Im\qty(\Psi_n^\ast\Psi_m)]^2,
\end{aligned}
\end{equation*}
同理,
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\sum_{nm}\Im\qty(X_n^\ast X_m)\Im\qty(\Phi_n^\ast\Phi_m)=&{}\sum_{nm}\qty{\alpha\Im\qty(\Psi_n^\ast\Psi_m)\Im\qty(\Phi_n^\ast\Phi_m)+\beta\qty[\Im\qty(\Phi_n^\ast\Phi_m)]^2}\\
=&{}\beta\sum_{nm}\qty[\Im\qty(\Phi_n^\ast\Phi_m)]^2.
\end{aligned}
\end{equation*}
只要存在不为实数的 $\Psi_n^\ast\Psi_m$ 和 $\Phi_n^\ast\Phi_m$, 就有
\begin{equation*}
\begin{aligned}
&\sum_{nm}\Im\qty(X_n^\ast X_m)\Im\qty(\Psi_n^\ast\Psi_m)\neq 0,\\
&\sum_{nm}\Im\qty(X_n^\ast X_m)\Im\qty(\Phi_n^\ast\Phi_m)\neq 0.
\end{aligned}
\end{equation*}
因而在式 \eqref{eq:可逆保概率变换下单位模长的矢量的两种可能变换方式} 的两种变换方式中, $X$ 的变换方式既与 $\Psi$ 的变换方式相同, 又与 $\Phi$ 的变换方式相同. 这说明 $\Psi$ 和 $\Phi$ 的变换方式也必须相同. 从而式 \eqref{eq:可逆保概率变换下单位模长的矢量的两种可能变换方式} 的两种变换方式中, $\partial\mathscr{H}_\mathrm{u}$ 中任意元素的选择都相同.
任取 $\Psi,\Phi\in\partial\mathscr{H}_\mathrm{u}$, 定义 $U\Psi=\tilde{\Psi}^{\prime\qty(r)}$, $U\Phi=\tilde{\Psi}^{\prime\qty(s)}$. 再任取 $\alpha,\beta\in\mathbb{C}$. 则若可逆保概率变换为式 \eqref{eq:可逆保概率变换下单位模长的矢量的两种可能变换方式} 中的第一种情况, 有
\begin{equation*}
\begin{aligned}
U\qty(\alpha\Psi+\beta\Phi)=&{}U\qty(\alpha\sum_n\Psi_n\xi_n+\beta\sum_n\Phi_n\xi_n)\\
=&{}U\sum_n\qty(\alpha\Psi_n+\beta\Phi_n)\xi_n\\
=&{}\sum_n\qty(\alpha\Psi_n+\beta\Phi_n)U\xi_n\\
=&{}\alpha\sum_n\Psi_nU\xi_n+\beta\sum_n\Phi_nU\xi_n\\
=&{}\alpha U\sum_n\Psi_n\xi_n+\beta U\sum_n\Phi_n\xi_n\\
=&{}\alpha U\Psi+\beta U\Phi,
\end{aligned}
\end{equation*}
且
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\braket{U\Psi}{U\Phi}=&{}\braket{U\sum_n\Psi_n\xi_n}{U\sum_m\Phi_m\xi_m}\\
=&{}\braket{\sum_n\Psi_nU\xi_n}{\sum_m\Phi_mU\xi_m}\\
=&{}\sum_{nm}\Psi_n^\ast\Phi_m\braket{U\xi_n}{U\xi_m}\\
=&{}\sum_{nm}\Psi_n^\ast\Phi_m\delta_{nm}\\
=&{}\braket{\Psi}{\Phi};
\end{aligned}
\end{equation*}
若可逆保概率变换为式 \eqref{eq:可逆保概率变换下单位模长的矢量的两种可能变换方式} 中的第二种情况, 有
\begin{equation*}
\begin{aligned}
U\qty(\alpha\Psi+\beta\Phi)=&{}U\qty(\alpha\sum_n\Psi_n\xi_n+\beta\sum_n\Phi_n\xi_n)\\
=&{}U\sum_n\qty(\alpha\Psi_n+\beta\Phi_n)\xi_n\\
=&{}\sum_n\qty(\alpha\Psi_n+\beta\Phi_n)^\ast U\xi_n\\
=&{}\alpha^\ast\sum_n\Psi_n^\ast U\xi_n+\beta^\ast\sum_n\Phi_n^\ast U\xi_n\\
=&{}\alpha^\ast U\sum_n\Psi_n\xi_n+\beta^\ast U\sum_n\Phi_n\xi_n\\
=&{}\alpha^\ast U\Psi+\beta^\ast U\Phi,
\end{aligned}
\end{equation*}
且
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\braket{U\Psi}{U\Phi}=&{}\braket{U\sum_n\Psi_n\xi_n}{U\sum_m\Phi_m\xi_m}\\
=&{}\braket{\sum_n\Psi_n^\ast U\xi_n}{\sum_m\Phi_m^\ast U\xi_m}\\
=&{}\sum_{nm}\Psi_n\Phi_m^\ast\braket{U\xi_n}{U\xi_m}\\
=&{}\sum_{nm}\Psi_n\Phi_m^\ast\delta_{nm}\\
=&{}\braket{\Psi}{\Phi}^\ast.
\end{aligned}
\end{equation*}
这样, 我们就证明了 Wigner 定理.
