常见的磁约束聚变装置是一个环流器, 如 图 1 所示.

以环的中心竖直向上的方向为 $Z$ 坐标正方向, 从中心向外的方向为 $R$ 坐标正方向, $\bm{e}_\phi\equiv\bm{e}_Z\crossproduct\bm{e}_R$ 为 $\phi$ 坐标正方向, 即可建立柱坐标系 $\qty(R,\phi,Z)$. 在与环向垂直的极向截面上, 还可以建立 $\qty(R,Z,\zeta)$ 坐标系, 一般选择 $\zeta=-\phi$. 之所以 $\phi$, $Z$ 的顺序与 $\zeta$, $Z$ 的顺序相反, 是为了保持坐标系的右手性, 即 “第一个坐标基矢叉乘第二个坐标基矢等于第三个坐标基矢”.

具有环向对称性的磁约束聚变装置中, 环向截面上的等离子体平衡方程为 Grad-Shafranov 方程, \begin{equation} \begin{aligned} \Delta^\ast\psi=&{}-\mu_0RJ_\phi\\ =&{}-\mu_0R^2P^\prime-FF^\prime, \end{aligned} \end{equation} 其中, 算子 $\Delta^\ast$ 定义为 \begin{equation*} \begin{aligned} \Delta^\ast=R\pdv{}{R}\qty(\frac{1}{R}\pdv{}{R})+\pdv[2]{}{Z}. \end{aligned} \end{equation*} 而极向磁通 $\psi$ 和极向电流函数 $F$ 分别定义为 \begin{equation*} \begin{aligned} &\psi=RA_\phi,\\ &F=RB_\phi. \end{aligned} \end{equation*} 且 $P$ 和 $F$ 都是 $\psi$ 的函数, 即 $P=P\qty(\psi)$, $F=F\qty(\psi)$; $P^\prime$ 和 $F^\prime$ 分别为 $P$ 和 $F$ 对 $\psi$ 的微商.

为了导出 G-S 方程, 我们考虑理想等离子体的静态平衡, 即令理想磁流体方程中的 $\dv[]{\bm{u}}{t}=0$, \begin{equation}\label{eq:理想磁流体的静态平衡方程} \begin{aligned} 0=\rho\dv[]{\bm{u}}{t}=-\grad{P}+\bm{J}\crossproduct\bm{B}. \end{aligned} \end{equation} 其中 \begin{equation} \begin{aligned} &\bm{J}=\frac{1}{\mu_0}\curl\bm{B},\\ &\bm{B}=\curl\bm{A}. \end{aligned} \end{equation} 先计算环坐标系 $\qty(R,Z,\zeta)$ 中磁场 $\bm{B}$ 的表达式, \begin{equation*} \begin{aligned} \bm{B}=&{}\curl\bm{A}\\ =&{}\frac{\bm{e}_R}{R}\qty[\pdv{}{Z}\qty(RA_\zeta)-\pdv{A_Z}{\zeta}]+\frac{\bm{e}_Z}{R}\qty[\pdv{A_R}{\zeta}-\pdv{}{R}\qty(RA_\zeta)]+\bm{e_\zeta}B_\zeta. \end{aligned} \end{equation*} 由于 $\zeta=-\phi$, 因此 \begin{equation*} \begin{aligned} \bm{B}=\frac{\bm{e}_R}{R}\qty(-\pdv{\psi}{Z}-\pdv{A_Z}{\zeta})+\frac{\bm{e}_Z}{R}\qty(\pdv{A_R}{\zeta}+\pdv{\psi}{R})-\frac{\bm{e}_\zeta}{R}F. \end{aligned} \end{equation*} 对于环向对称的系统, 不同 $\zeta$ 处的极向截面没有区别, 因此 $A_R$ 与 $A_Z$ 应与 $\zeta$ 无关, $\pdv{A_R}{\zeta}=\pdv{A_Z}{\zeta}=0$. 从而 \begin{equation*} \begin{aligned} \bm{B}=-\frac{\bm{e}_R}{R}\pdv{\psi}{Z}+\frac{\bm{e}_Z}{R}\pdv{\psi}{R}-\frac{\bm{e}_\zeta}{R}F. \end{aligned} \end{equation*} 考虑到 $\bm{e}_R=\bm{e}_Z\crossproduct\bm{e}_\zeta$, $\bm{e}_Z=-\bm{e}_R\crossproduct\bm{e}_\zeta$, 有 \begin{equation}\label{eq:托卡马克中磁场的磁面表达式} \begin{aligned} \bm{B}=&{}-\qty(\bm{e}_Z\pdv{\psi}{Z}+\bm{e}_R\pdv{\psi}{R})\crossproduct\frac{\bm{e}_\zeta}{R}-F\frac{\bm{e}_\zeta}{R}\\ =&{}-\qty(\bm{e}_Z\pdv{\psi}{Z}+\bm{e}_R\pdv{\psi}{R}+\bm{e}_\zeta\pdv{\psi}{\zeta})\crossproduct\frac{\bm{e}_\zeta}{R}-F\frac{\bm{e}_\zeta}{R}\\ =&{}-\grad\psi\crossproduct\grad{\zeta}-F\grad\zeta\\ =&{}\grad\psi\crossproduct\grad\phi+F\grad\phi. \end{aligned} \end{equation} 再来计算 $\bm{J}$, \begin{equation*} \begin{aligned} \bm{J}=&{}\frac{1}{\mu_0}\curl\bm{B}\\ =&{}-\frac{1}{\mu_0}\curl\qty(\grad\psi\crossproduct\grad\zeta+F\grad\zeta)\\ =&{}-\frac{1}{\mu_0}\qty(\grad\zeta\dotproduct\grad\grad\psi-\laplacian\psi\grad\zeta+\laplacian\zeta\grad\psi-\grad\psi\dotproduct\grad\grad\zeta+\grad{F}\crossproduct\grad\zeta)\\ =&{}-\frac{1}{\mu_0}\Bigg[\frac{1}{R^2}\pdv{}{\zeta}\qty(\bm{e}_R\pdv{\psi}{R}+\bm{e}_Z\pdv{\psi}{Z}+\frac{\bm{e}_\zeta}{R}\pdv{\psi}{\zeta})-\laplacian\psi\frac{\bm{e}_\zeta}{R}+\laplacian\zeta\grad\psi-\grad\psi\dotproduct\grad\grad\zeta+\grad{F}\crossproduct\frac{\bm{e}_\zeta}{R}\Bigg], \end{aligned} \end{equation*} 由环向对称性, $A_\phi=-A_\zeta$ 与 $\zeta$ 无关, 因此 $\pdv{\psi}{\zeta}=\pdv{\qty(RA_\phi)}{\zeta}=0$. 另外, 直接计算即可知 $\laplacian\zeta=0$. 从而 \begin{equation}\label{eq:托卡马克中电流密度的磁面表达式} \begin{aligned} \bm{J}=&{}-\frac{1}{\mu_0}\left[\frac{1}{R^2}\pdv{}{\zeta}\qty(\bm{e}_R\pdv{\psi}{R}+\bm{e}_Z\pdv{\psi}{Z})-\laplacian\psi\frac{\bm{e}_\zeta}{R}-\grad\psi\dotproduct\grad\grad\zeta+\grad{F}\crossproduct\frac{\bm{e}_\zeta}{R}\right]\\ =&{}-\frac{1}{\mu_0}\qty(\frac{\bm{e}_\zeta}{R^2}\pdv{\psi}{R}-\laplacian\psi\frac{\bm{e}_\zeta}{R}+\frac{\bm{e}_\zeta}{R^2}\pdv{\psi}{R}+\grad{F}\crossproduct\frac{\bm{e}_\zeta}{R})\\ =&{}-\frac{1}{\mu_0}\qty[\frac{\bm{e}_\zeta}{R}\qty(\frac{2}{R}\pdv{\psi}{R}-\laplacian\psi)+\grad{F}\crossproduct\frac{\bm{e}_\zeta}{R}]\\ =&{}-\frac{1}{\mu_0}\qty{\frac{\bm{e}_\zeta}{R}\qty[\frac{2}{R}\pdv{\psi}{R}-\frac{1}{R}\pdv{}{R}\qty(R\pdv{\psi}{R})-\pdv[2]{\psi}{Z}]+\grad{F}\crossproduct\frac{\bm{e}_\zeta}{R}}\\ =&{}-\frac{1}{\mu_0}\qty{-\frac{\bm{e}_\zeta}{R}\qty[R\pdv{}{R}\qty(\frac{1}{R}\pdv{\psi}{R})+\pdv[2]{\psi}{Z}]+\grad{F}\crossproduct\frac{\bm{e}_\zeta}{R}}\\ =&{}-\frac{1}{\mu_0}\qty(-\frac{\bm{e}_\zeta}{R}\Delta^\ast\psi+\grad{F}\crossproduct\frac{\bm{e}_\zeta}{R})\\ =&{}\frac{1}{\mu_0}\qty(-\Delta^\ast\psi\grad\phi+\grad{F}\crossproduct\grad\phi). \end{aligned} \end{equation} 由此可见, \begin{equation*} \begin{aligned} J_\phi=&{}\bm{e}_\phi\dotproduct\bm{J}\\ =&{}-\frac{\Delta^\ast\psi}{\mu_0R}. \end{aligned} \end{equation*} 即 \begin{equation}\label{eq:Grad-Shafranov方程的电流形式} \begin{aligned} \Delta^\ast\psi=-\mu_0RJ_\phi. \end{aligned} \end{equation} 由式 \eqref{eq:理想磁流体的静态平衡方程} 可知, \begin{equation*} \begin{aligned} \bm{J}\dotproduct\grad{P}=\bm{B}\dotproduct\grad{P}=0. \end{aligned} \end{equation*} 可见 $\bm{J}$ 和 $\bm{B}$ 都在 $P$ 的等值面上. 另一方面, \begin{equation*} \begin{aligned} \bm{B}\dotproduct\grad\psi=&{}\qty(\grad\psi\crossproduct\grad\phi+F\grad\phi)\dotproduct\grad\psi\\ =&{}F\grad\phi\dotproduct\grad\psi\\ =&{}\frac{F}{R^2}\pdv{\psi}{\phi}\\ =&{}\frac{F}{R}\pdv{A_\phi}{\phi}\\ =&{}0. \end{aligned} \end{equation*} 即 $\bm{B}$ 在 $\psi$ 的等值面上. 因而 $P$ 的等值面与 $\psi$ 的等值面重合, 即 $P$ 可以表为 $\psi$ 的函数, $P=P\qty(\psi)$. 由此可以进一步得到 \begin{equation*} \begin{aligned} 0=&{}\bm{J}\dotproduct\grad{P}\\ =&{}\bm{J}\dotproduct P^\prime\grad\psi. \end{aligned} \end{equation*} 只要 $P^\prime\neq 0$, 就有 \begin{equation*} \begin{aligned} \bm{J}\dotproduct\grad\psi=0. \end{aligned} \end{equation*} 即 \begin{equation*} \begin{aligned} 0=&{}\frac{1}{\mu_0}\qty(-\Delta^\ast\psi\grad\phi+\grad{F}\crossproduct\grad\phi)\dotproduct\grad\psi\\ =&{}\frac{1}{\mu_0}\qty[-\frac{\Delta^\ast\psi}{R}\pdv{A_\phi}{\phi}+\frac{1}{R}\qty(\pdv{F}{R}\pdv{\psi}{Z}-\pdv{F}{Z}\pdv{\psi}{R})]\\ =&{}\frac{1}{\mu_0R}\begin{vmatrix} \pdv{F}{R} & \pdv{F}{Z}\\ \pdv{\psi}{R} & \pdv{\psi}{Z} \end{vmatrix}. \end{aligned} \end{equation*} 这说明 $\bm{e}_R\pdv{F}{R}+\bm{e}_Z\pdv{F}{Z}$ 与 $\bm{e}_R\pdv{\psi}{R}+\bm{e}_Z\pdv{\psi}{Z}$ 平行. 由于 $\pdv{F}{\phi}=\pdv{\psi}{\phi}=0$, 因此 $\bm{e}_R\pdv{F}{R}+\bm{e}_Z\pdv{F}{Z}+\frac{\bm{e}_\phi}{R}\pdv{F}{\phi}$ 与 $\bm{e}_R\pdv{\psi}{R}+\bm{e}_Z\pdv{\psi}{Z}+\frac{\bm{e}_\phi}{R}\pdv{\psi}{\phi}$ 也平行, 即 $\grad{F}$ 与 $\grad{\psi}$ 平行. 这意味着 $F$ 的等值面与 $\psi$ 的等值面重合, 从而 $F$ 也可以表为 $\psi$ 的函数, $F=F\qty(\psi)$.

将式 \eqref{eq:托卡马克中磁场的磁面表达式} 和式 \eqref{eq:托卡马克中电流密度的磁面表达式} 代入理想磁流体的静态平衡方程式 \eqref{eq:理想磁流体的静态平衡方程} 即可得 \begin{equation*} \begin{aligned} \grad{P}=&{}\bm{J}\crossproduct\bm{B}\\ =&{}\frac{1}{\mu_0}\qty(-\Delta^\ast\psi\grad\phi+\grad{F}\crossproduct\grad\phi)\crossproduct\qty(\grad\psi\crossproduct\grad\phi+F\grad\phi). \end{aligned} \end{equation*} 考虑到 $P$ 和 $F$ 都可表为 $\psi$ 的函数, 则 \begin{equation*} \begin{aligned} P^\prime\grad\psi=&{}\frac{1}{\mu_0}\qty(-\Delta^\ast\psi\grad\phi+F^\prime\grad\psi\crossproduct\grad\phi)\crossproduct\qty(\grad\psi\crossproduct\grad\phi+F\grad\phi)\\ =&{}\frac{1}{\mu_0}\qty(\Delta^\ast\psi+FF^\prime)\qty(\grad\psi\crossproduct\grad\phi)\crossproduct\grad\phi\\ =&{}-\frac{1}{\mu_0}\qty(\Delta^\ast\psi+FF^\prime)\frac{\grad\psi}{R^2}. \end{aligned} \end{equation*} 因而有 \begin{equation}\label{eq:Grad-Shafranov方程} \begin{aligned} \Delta^\ast\psi=-\mu_0R^2P^\prime-FF^\prime. \end{aligned} \end{equation} 式 \eqref{eq:Grad-Shafranov方程的电流形式} 和式 \eqref{eq:Grad-Shafranov方程} 即为 Grad-Shafranov 方程, \begin{equation} \begin{aligned} \Delta^\ast\psi=&{}-\mu_0RJ_\phi\\ =&{}-\mu_0R^2P^\prime-FF^\prime. \end{aligned} \end{equation}