时空的物理模型

引力场的分布与演化

小尺度下的近似理论 — 狭义相对论

在狭义相对论中, 时空被认为可以用一个带 Minkowski 度规 $\eta_{\mu\nu}\mapsto\diag{-1,1,1,1}$ 的四维流形 $\mathbb{R}^4$ 来描述^[1]. 该流形的对称群为 Poincaré 群 $\mathcal{P}$ 与整体标度变换群 $\qty(\RR^+,\dotproduct)$ 的半直积群 $\mathcal{P}\rtimes\qty(\RR^+,\dotproduct)$. 这个群对(正交标架下)时空坐标 $x^\mu$ 的变换可表为

\begin{equation}\label{eq:庞加莱变换}
\begin{aligned}
x^{\prime\mu}=\ee^{\frac{1}{2}\Omega}\qty({\Lambda^\mu}_\nu x^\nu+a^\mu).\Omega,a^\mu\in\RR;\Lambda\in\mathrm{SO}\qty(1,3).
\end{aligned}
\end{equation}

由于一个整体的标度变换因子 $\exp\qty(\Omega/2)$ 是不重要的 — 它可以通过对时空标度单位的选取而被消除(但如果标度变换因子依赖于时空点, 则无法通过上述方法消除它 — 这种“局域的而非整体的”标度不变性是会带来可观测的物理效应的. 但我们不讨论这种情形, 这通常在共形场论中被详细讨论). 因此我们只需关注 Poincaré 对称性.

最常见的引力场方程 — Einstein 方程

但上述时空模型只是小尺度下的近似. 在稍大的尺度上, 狭义相对论模型并不十分好 — 它只不过是时空流形切空间上的物理. 我们在物理上对时空的要求就是一个满足因果性, 能量条件以及一系列其他(物理上可接受的)条件的赝 Riemann 流形. 怎样得到这个流形的确切几何信息呢? 那就是知道它的度规 $g_{\mu\nu}$. 怎样知道度规 $g_{\mu\nu}$ 呢? 那就是求解物理方程. 求解什么物理方程呢? 这就依赖于我们使用什么样的模型来描述时空. 在经典广义相对论这个物理模型中, 度规需要满足 Einstein 方程,

\begin{equation}\label{eq:爱因斯坦方程}
\begin{aligned}
R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu}=\kappa T_{\mu\nu},
\end{aligned}
\end{equation}

其中, $\Lambda$为宇宙学常数, 一般认为它非常小, 其观测估计值仅有 $10^{-52}\si{m^{-2}}$ 的量级[1], 因此通常被忽略不计; $\kappa$ 是需要由观测数据定出的常数, 在几何单位制(光速 $c=1$, 万有引力常量 $G=1$)下, 它的值为 $8\pi$; $R_{\mu\nu}={R^\rho}_{\mu\rho\nu}$ 为 Ricci 张量(${R^\rho}_{\sigma\mu\nu}$ 为 Riemann 张量); $R=g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}$ 为曲率标量; $T_{\mu\nu}$ 为除了引力场本身以外, 其他物质和场的能动张量(引力场本身的能动张量一般并不能简单地定义. 这是因为, 不同于其他物质和场的局域性特征, 引力场具有非局域性, 一般无法给引力场定义一个在物理上合理的, 局域的能动张量[2]).

式 \eqref{eq:爱因斯坦方程} 可由如下变分原理得到,

\begin{equation}\label{eq:引力场的变分原理}
\begin{aligned}
\frac{\delta}{\delta g^{\mu\nu}}\qty[\int_\mathcal{M}\sqrt{-g}\dd[4]x\qty(\frac{\frac{1}{2}R-\Lambda}{\kappa}+\mathcal{L}_M)+\int_{\partial\mathcal{M}}\sqrt{h}\dd[3]x\frac{\epsilon K}{\kappa}]=0,
\end{aligned}
\end{equation}

其中, $g$ 为度规 $g_{\mu\nu}$ 的行列式; 作用量 $S_{\mathrm{EH}}=\int_\mathcal{M}\sqrt{-g}\dd[4]x\qty(R/2-\Lambda)/\kappa$ 称为 Einstein-Hilbert 作用量; 第二项 $S_M=\int_\mathcal{M}\sqrt{-g}\dd[4]x\mathcal{L}_M$ 为除引力场外的其他物质和场的作用量; 第三项 $S_{\mathrm{GHY}}=\int_{\partial\mathcal{M}}\sqrt{h}\dd[3]x\epsilon K/\kappa$ 称为 Gibbons–Hawking–York 边界项, 其中 $h$ 为度规 $g_{\mu\nu}$ 在时空 $\mathcal{M}$ 的边界 $\partial\mathcal{M}$ 上的诱导度规 $h_{ij}$ 的行列式, $\epsilon$ 根据 $\partial\mathcal{M}$ 的法矢 $n^\mu$ 类空或类时而分别取 $+1$ 或 $-1$, $K$ 为 $\partial\mathcal{M}$ 的外曲率 $K_{ij}$ 的迹 $h^{ij}K_{ij}$.

为了从式 \eqref{eq:引力场的变分原理} 得到式 \eqref{eq:爱因斯坦方程}, 先来计算式 \eqref{eq:引力场的变分原理} 中的前两项. 由 Noether 定理可以定义一个合理的物质场能动张量 $T_{\mu\nu}=-\frac{2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta S_M}{\delta g^{\mu\nu}}$, 则

\begin{equation}\label{eq:引力变分原理前两项计算}
\begin{aligned}
\frac{\delta}{\delta g^{\mu\nu}\qty(x)}\int_\mathcal{M}\sqrt{-g\qty(y)}\dd[4]y\qty(\frac{\frac{1}{2}R\qty(y)-\Lambda}{\kappa}+\mathcal{L}_M\qty(y))={}&\frac{\delta}{\delta g^{\mu\nu}\qty(x)}\int_\mathcal{M}\sqrt{-g\qty(y)}\dd[4]y\frac{\frac{1}{2}R\qty(y)-\Lambda}{\kappa}-\frac{1}{2}\sqrt{-g\qty(x)}T_{\mu\nu}\qty(x)
\\
={}&\int_\mathcal{M}\dd[4]y\qty[\frac{\delta\sqrt{-g\qty(y)}}{\delta g^{\mu\nu}\qty(x)}\frac{\frac{1}{2}R\qty(y)-\Lambda}{\kappa}+\sqrt{-g\qty(y)}\frac{\delta}{\delta g^{\mu\nu}\qty(x)}\frac{\frac{1}{2}R\qty(y)-\Lambda}{\kappa}]-\frac{1}{2}\sqrt{-g\qty(x)}T_{\mu\nu}\qty(x)
\\
={}&\int_\mathcal{M}\dd[4]y\qty[-\frac{1}{2\sqrt{-g\qty(y)}}\frac{\delta g\qty(y)}{\delta g^{\mu\nu}\qty(x)}\frac{\frac{1}{2}R\qty(y)-\Lambda}{\kappa}+\sqrt{-g\qty(y)}\qty(\frac{1}{2\kappa}\frac{\delta R\qty(y)}{\delta g^{\mu\nu}\qty(x)})]-\frac{1}{2}\sqrt{-g\qty(x)}T_{\mu\nu}\qty(x)
\\
={}&\int_\mathcal{M}\dd[4]y\qty[\frac{1}{2\sqrt{-g\qty(x)}}g\qty(y)g_{\nu\mu}\qty(x)\delta^{\qty(4)}\qty(y-x)\frac{\frac{1}{2}R\qty(y)-\Lambda}{\kappa}+\frac{1}{2\kappa}\sqrt{-g\qty(y)}\frac{\delta}{\delta g^{\mu\nu}\qty(x)}\qty(g^{\rho\sigma}\qty(y)R_{\rho\sigma}\qty(y))]-\frac{1}{2}\sqrt{-g\qty(x)}T_{\mu\nu}\qty(x)
\\
={}&-\frac{1}{2}\sqrt{-g\qty(x)}\underbrace{g_{\mu\nu}\qty(x)}_{\begin{aligned}&\text{变分已经}\\&\text{完成, 可以}\\&\text{使用度规}\\&\text{的对称性}\\&\text{约束条件}\\&\text{$g_{\mu\nu}=g_{\nu\mu}$.}\end{aligned}}\frac{\frac{1}{2}R\qty(y)-\Lambda}{\kappa}+\frac{1}{2\kappa}\int_\mathcal{M}\dd[4]y\sqrt{-g\qty(y)}\qty[\frac{\delta g^{\rho\sigma}\qty(y)}{\delta g^{\mu\nu}\qty(x)}R_{\rho\sigma}\qty(y)+g^{\rho\sigma}\qty(y)\frac{\delta R_{\rho\sigma}\qty(y)}{\delta g^{\mu\nu}\qty(x)}]-\frac{1}{2}\sqrt{-g\qty(x)}T_{\mu\nu}\qty(x)
\\
={}&-\frac{1}{2}\sqrt{-g\qty(x)}g_{\mu\nu}\qty(x)\frac{\frac{1}{2}R\qty(y)-\Lambda}{\kappa}+\frac{1}{2\kappa}\int_\mathcal{M}\dd[4]y\sqrt{-g\qty(y)}\qty[\underbrace{\delta^\rho_\mu\delta^\sigma_\nu}_{\begin{aligned}&\text{变分计算}\\&\text{完成之前}\\&\text{不能使用}\\&\text{度规的}\\&\text{对称性}\\&\text{约束条件}\\&\text{$g_{\mu\nu}=g_{\nu\mu}$,}\\&\text{因此这里}\\&\text{并不等于}\\&\text{$\delta^\rho_\mu\delta^\sigma_\nu+\delta^\rho_\nu\delta^\sigma_\mu$.}\end{aligned}}\delta^{\qty(4)}\qty(y-x)R_{\rho\sigma}\qty(y)+g^{\rho\sigma}\qty(y)\frac{\delta}{\delta g^{\mu\nu}\qty(x)}{R^\lambda}_{\rho\lambda\sigma}\qty(y)]-\frac{1}{2}\sqrt{-g\qty(x)}T_{\mu\nu}\qty(x)
\\
={}&-\frac{1}{2}\sqrt{-g\qty(x)}g_{\mu\nu}\qty(x)\frac{\frac{1}{2}R\qty(y)-\Lambda}{\kappa}+\frac{1}{2}\sqrt{-g\qty(x)}\frac{R_{\mu\nu}\qty(x)}{\kappa}+\frac{1}{2\kappa}\int_\mathcal{M}\dd[4]y\sqrt{-g\qty(y)}g^{\rho\sigma}\qty(y)\frac{\delta}{\delta g^{\mu\nu}\qty(x)}{R^\lambda}_{\rho\lambda\sigma}\qty(y)-\frac{1}{2}\sqrt{-g\qty(x)}T_{\mu\nu}\qty(x)
\\
={}&-\frac{1}{2}\sqrt{-g\qty(x)}g_{\mu\nu}\qty(x)\frac{\frac{1}{2}R\qty(y)-\Lambda}{\kappa}+\frac{1}{2}\sqrt{-g\qty(x)}\frac{R_{\mu\nu}\qty(x)}{\kappa}+\frac{1}{2\kappa}\int_\mathcal{M}\dd[4]y\sqrt{-g\qty(y)}g^{\rho\sigma}\qty(y)\frac{\delta}{\delta g^{\mu\nu}\qty(x)}\qty(\pdv{\varGamma^\lambda_{\sigma\rho}\qty(y)}{y^\lambda}-\pdv{\varGamma^\lambda_{\lambda\rho}\qty(y)}{y^\sigma}+\varGamma^\lambda_{\lambda\tau}\qty(y)\varGamma^\tau_{\sigma\rho}\qty(y)-\varGamma^\lambda_{\sigma\tau}\qty(y)\varGamma^\tau_{\lambda\rho}\qty(y))-\frac{1}{2}\sqrt{-g\qty(x)}T_{\mu\nu}\qty(x)
\\
={}&-\frac{1}{2}\sqrt{-g\qty(x)}g_{\mu\nu}\qty(x)\frac{\frac{1}{2}R\qty(y)-\Lambda}{\kappa}+\frac{1}{2}\sqrt{-g\qty(x)}\frac{R_{\mu\nu}\qty(x)}{\kappa}+\frac{1}{2\kappa}\int_\mathcal{M}\dd[4]y\sqrt{-g\qty(y)}g^{\rho\sigma}\qty(y)\qty(\pdv{}{y^\lambda}\frac{\delta\varGamma^\lambda_{\sigma\rho}\qty(y)}{\delta g^{\mu\nu}\qty(x)}-\pdv{}{y^\sigma}\frac{\delta\varGamma^\lambda_{\lambda\rho}\qty(y)}{\delta g^{\mu\nu}\qty(x)}+\frac{\delta\varGamma^\lambda_{\lambda\tau}\qty(y)}{\delta g^{\mu\nu}\qty(x)}\varGamma^\tau_{\sigma\rho}\qty(y)+\varGamma^\lambda_{\lambda\tau}\qty(y)\frac{\delta\varGamma^\tau_{\sigma\rho}\qty(y)}{\delta g^{\mu\nu}\qty(x)}-\frac{\delta\varGamma^\lambda_{\sigma\tau}\qty(y)}{\delta g^{\mu\nu}\qty(x)}\varGamma^\tau_{\lambda\rho}\qty(y)-\varGamma^\lambda_{\sigma\tau}\qty(y)\frac{\delta\varGamma^\tau_{\lambda\rho}\qty(y)}{\delta g^{\mu\nu}\qty(x)})-\frac{1}{2}\sqrt{-g\qty(x)}T_{\mu\nu}\qty(x).
\end{aligned}
\end{equation}

由 Christoffel 符号在坐标变换下的变换方式,

\begin{equation}\label{eq:克氏符的变换规律}
\begin{aligned}
\varGamma^{\prime\rho}_{\mu\sigma}=\pdv{x^\nu}{x^{\prime\mu}}\pdv{x^{\prime\rho}}{x^\lambda}\qty(\varGamma^\lambda_{\nu\tau}+\delta^\lambda_\tau\pdv{}{x^\nu})\pdv{x^\tau}{x^{\prime\sigma}},
\end{aligned}
\end{equation}

对式 \eqref{eq:克氏符的变换规律} 求变分, 即可知

\begin{equation}\label{eq:克氏符的变换规律对逆度规求变分}
\begin{aligned}
\delta\varGamma^{\prime\rho}_{\mu\sigma}=\pdv{x^\nu}{x^{\prime\mu}}\pdv{x^{\prime\rho}}{x^\lambda}\pdv{x^\tau}{x^{\prime\sigma}}\delta\varGamma^\lambda_{\nu\tau}.
\end{aligned}
\end{equation}

可见, 虽然 $\varGamma^\rho_{\mu\sigma}\pdv{}{x^\rho}\otimes\dd x^\mu\otimes\dd x^\sigma$ 不是一个不依赖于坐标系选择的张量, 但 $\delta\varGamma^\rho_{\mu\sigma}\pdv{}{x^\rho}\otimes\dd x^\mu\otimes\dd x^\sigma$ 与坐标系选择无关, 因而所有适用于张量分量的运算都适用于 $\delta\varGamma^\rho_{\mu\sigma}$. 由此我们可以定义 $4\times 4=16$ 个量,

\begin{equation}\label{eq:克氏符对逆度规求变分所构成的十六个量}
\begin{aligned}
w_{\mu\nu}\qty(x,y)\equiv\frac{\delta\varGamma^\rho_{\lambda\sigma}\qty(y)}{\delta g^{\mu\nu}\qty(x)}\pdv{}{y^\rho}\otimes\dd y^\lambda\otimes\dd y^\sigma,
\end{aligned}
\end{equation}

并人为规定这 $16$ 个量在坐标变换时, 变分算子 $\frac{\delta}{\delta g^{\mu\nu}\qty(x)}$ 保持不变, 而仅变换除变分算子外的其他部分. 在这样的人为规定下, 式 \eqref{eq:克氏符对逆度规求变分所构成的十六个量} 中的 $16$ 个量构成不依赖于坐标系选择的张量.

因此, 式 \eqref{eq:引力变分原理前两项计算} 中,

$$
\qty(\pdv{}{y^\lambda}\frac{\delta\varGamma^\lambda_{\sigma\rho}\qty(y)}{\delta g^{\mu\nu}\qty(x)}-\pdv{}{y^\sigma}\frac{\delta\varGamma^\lambda_{\lambda\rho}\qty(y)}{\delta g^{\mu\nu}\qty(x)}+\frac{\delta\varGamma^\lambda_{\lambda\tau}\qty(y)}{\delta g^{\mu\nu}\qty(x)}\varGamma^\tau_{\sigma\rho}\qty(y)+\varGamma^\lambda_{\lambda\tau}\qty(y)\frac{\delta\varGamma^\tau_{\sigma\rho}\qty(y)}{\delta g^{\mu\nu}\qty(x)}-\frac{\delta\varGamma^\lambda_{\sigma\tau}\qty(y)}{\delta g^{\mu\nu}\qty(x)}\varGamma^\tau_{\lambda\rho}\qty(y)-\varGamma^\lambda_{\sigma\tau}\qty(y)\frac{\delta\varGamma^\tau_{\lambda\rho}\qty(y)}{\delta g^{\mu\nu}\qty(x)})
$$

这一项的计算可以简化为

$$
\qty(\nabla_{y^\lambda}\qty(w_{\mu\nu})^\lambda_{\sigma\rho}\qty(x,y)-\nabla_{y^\sigma}\qty(w_{\mu\nu})^\lambda_{\lambda\rho}\qty(x,y)),
$$

其中 $\nabla_{y^\mu}$ 为对张量场作用的协变导数算子.

从而式 \eqref{eq:引力变分原理前两项计算} 可以简化为

\begin{equation}\label{eq:引力变分原理前两项继续计算}
\begin{aligned}
\frac{\delta}{\delta g^{\mu\nu}\qty(x)}\int_\mathcal{M}\sqrt{-g\qty(y)}\dd[4]y\qty(\frac{\frac{1}{2}R\qty(y)-\Lambda}{\kappa}+\mathcal{L}_M\qty(y))={}&-\frac{1}{2}\sqrt{-g\qty(x)}g_{\mu\nu}\qty(x)\frac{\frac{1}{2}R\qty(y)-\Lambda}{\kappa}+\frac{1}{2}\sqrt{-g\qty(x)}\frac{R_{\mu\nu}\qty(x)}{\kappa}+\frac{1}{2\kappa}\int_\mathcal{M}\dd[4]y\sqrt{-g\qty(y)}g^{\rho\sigma}\qty(y)\qty(\pdv{}{y^\lambda}\frac{\delta\varGamma^\lambda_{\sigma\rho}\qty(y)}{\delta g^{\mu\nu}\qty(x)}-\pdv{}{y^\sigma}\frac{\delta\varGamma^\lambda_{\lambda\rho}\qty(y)}{\delta g^{\mu\nu}\qty(x)}+\frac{\delta\varGamma^\lambda_{\lambda\tau}\qty(y)}{\delta g^{\mu\nu}\qty(x)}\varGamma^\tau_{\sigma\rho}\qty(y)+\varGamma^\lambda_{\lambda\tau}\qty(y)\frac{\delta\varGamma^\tau_{\sigma\rho}\qty(y)}{\delta g^{\mu\nu}\qty(x)}-\frac{\delta\varGamma^\lambda_{\sigma\tau}\qty(y)}{\delta g^{\mu\nu}\qty(x)}\varGamma^\tau_{\lambda\rho}\qty(y)-\varGamma^\lambda_{\sigma\tau}\qty(y)\frac{\delta\varGamma^\tau_{\lambda\rho}\qty(y)}{\delta g^{\mu\nu}\qty(x)})-\frac{1}{2}\sqrt{-g\qty(x)}T_{\mu\nu}\qty(x)
\\
={}&-\frac{1}{2}\sqrt{-g\qty(x)}g_{\mu\nu}\qty(x)\frac{\frac{1}{2}R\qty(y)-\Lambda}{\kappa}+\frac{1}{2}\sqrt{-g\qty(x)}\frac{R_{\mu\nu}\qty(x)}{\kappa}+\frac{1}{2\kappa}\int_\mathcal{M}\dd[4]y\sqrt{-g\qty(y)}g^{\rho\sigma}\qty(y)\qty(\nabla_{y^\lambda}\qty(w_{\mu\nu})^\lambda_{\sigma\rho}\qty(x,y)-\nabla_{y^\sigma}\qty(w_{\mu\nu})^\lambda_{\lambda\rho}\qty(x,y))-\frac{1}{2}\sqrt{-g\qty(x)}T_{\mu\nu}\qty(x)
\\
={}&-\frac{1}{2}\sqrt{-g\qty(x)}g_{\mu\nu}\qty(x)\frac{\frac{1}{2}R\qty(y)-\Lambda}{\kappa}+\frac{1}{2}\sqrt{-g\qty(x)}\frac{R_{\mu\nu}\qty(x)}{\kappa}+\frac{1}{2\kappa}\int_\mathcal{M}\dd[4]y\sqrt{-g\qty(y)}\qty(y)\qty[\nabla_{y^\lambda}\qty(g^{\rho\sigma}\qty(w_{\mu\nu})^\lambda_{\sigma\rho}\qty(x,y))-\nabla_{y^\sigma}\qty(g^{\rho\sigma}\qty(w_{\mu\nu})^\lambda_{\lambda\rho}\qty(x,y))]-\frac{1}{2}\sqrt{-g\qty(x)}T_{\mu\nu}\qty(x)
\\
={}&-\frac{1}{2}\sqrt{-g\qty(x)}g_{\mu\nu}\qty(x)\frac{\frac{1}{2}R\qty(y)-\Lambda}{\kappa}+\frac{1}{2}\sqrt{-g\qty(x)}\frac{R_{\mu\nu}\qty(x)}{\kappa}+\frac{1}{2\kappa}\int_\mathcal{\partial M}\dd[3]y\sqrt{h\qty(y)}g^{\rho\sigma}\qty(y)\qty(n_\lambda\qty(y)\qty(w_{\mu\nu})^\lambda_{\sigma\rho}\qty(x,y)-n_\sigma\qty(y)\qty(w_{\mu\nu})^\lambda_{\lambda\rho}\qty(x,y))-\frac{1}{2}\sqrt{-g\qty(x)}T_{\mu\nu}\qty(x)
\\
={}&-\frac{1}{2}\sqrt{-g\qty(x)}g_{\mu\nu}\qty(x)\frac{\frac{1}{2}R\qty(y)-\Lambda}{\kappa}+\frac{1}{2}\sqrt{-g\qty(x)}\frac{R_{\mu\nu}\qty(x)}{\kappa}+\frac{1}{2\kappa}\frac{\delta}{\delta g^{\mu\nu}\qty(x)}\int_\mathcal{\partial M}\dd[3]y\sqrt{h\qty(y)}\qty(2h^{\rho\sigma}\qty(y)\pdv{n_\rho\qty(y)}{y^\sigma}-n^\mu\qty(y)h^{\rho\sigma}\qty(y)\pdv{g_{\sigma\mu}\qty(y)}{y^\rho}-2\epsilon\qty(y)h^{\rho\sigma}\qty(y)e_\rho^\mu\qty(y)e_\sigma^\nu\qty(y)\nabla_{y^\mu}n_\nu\qty(y))-\frac{1}{2}\sqrt{-g\qty(x)}T_{\mu\nu}\qty(x)
\\
={}&-\frac{1}{2}\sqrt{-g\qty(x)}g_{\mu\nu}\qty(x)\frac{\frac{1}{2}R\qty(y)-\Lambda}{\kappa}+\frac{1}{2}\sqrt{-g\qty(x)}\frac{R_{\mu\nu}\qty(x)}{\kappa}-\frac{\delta}{\delta g^{\mu\nu}\qty(x)}\int_\mathcal{\partial M}\dd[3]y\sqrt{h\qty(y)}\frac{\epsilon\qty(y)K\qty(y)}{\kappa}-\frac{1}{2}\sqrt{-g\qty(x)}T_{\mu\nu}\qty(x).
\end{aligned}
\end{equation}

式 \eqref{eq:引力变分原理前两项继续计算} 中的 $-\frac{\delta}{\delta g^{\mu\nu}\qty(x)}\int_\mathcal{\partial M}\dd[3]y\sqrt{h\qty(y)}\frac{\epsilon\qty(y)K\qty(y)}{\kappa}$ 这一项恰好可以与式 \eqref{eq:引力场的变分原理} 中的最后一项抵消. 因而式 \eqref{eq:引力场的变分原理} 的最终结果为

\begin{equation}\label{eq:引力场变分原理的最终结果}
\begin{aligned}
-\frac{1}{2}\sqrt{-g\qty(x)}g_{\mu\nu}\qty(x)\frac{\frac{1}{2}R\qty(y)-\Lambda}{\kappa}+\frac{1}{2}\sqrt{-g\qty(x)}\frac{R_{\mu\nu}\qty(x)}{\kappa}-\frac{1}{2}\sqrt{-g\qty(x)}T_{\mu\nu}\qty(x)=0,
\end{aligned}
\end{equation}

稍加整理即可看出式 \eqref{eq:引力场变分原理的最终结果} 正是 Einstein 方程式 \eqref{eq:爱因斯坦方程}.

一种简单的情形是渐进平直时空. 度规 $g_{\mu\nu}$ 在无穷远处趋于 Minkowski 度规 $\eta_{\mu\nu}$, 外曲率之迹 $K$ 以快于边界超曲面 $\partial\mathcal{M}$ 增大的速度衰减而趋于 $0$, 因而边界项消失. 此时只剩下 Einstein-Hilbert 作用量 $S_\mathrm{EH}$ 和物质场的作用量 $S_\mathrm{m}$. 此种情况下, 所有的边界项都可以直接忽略. 但在一般情形中, 边界项是起作用的, 例如 AdS 时空, 以及与黑洞热力学有关的计算等.

在狭义相对论中, 我们给时空引入了光锥结构, 如 图 1 所示. 这一几何结构将时空分为三部分 — 向前光锥(未来光锥), 向后光锥(过去光锥)以及类空区域. 我们可以将因果性表述为, 不存在一个特殊 Lorentz 变换 $\Lambda\in\mathrm{SO}_+^\uparrow\qty(1,3)$, 能够让分属上述三个区域内的矢量互相变换. 也就是说, 向前光锥内的矢量无法通过特殊 Lorentz 变换而被变到向后光锥或类空区域中, 其他两个区域中的矢量也类似.

狭义相对论中的因果性条件可以通过几何语言进行推广. 一般来说, 不存在自相交的类时或类光曲线. 这被称为弱因果性条件(Weak Causality Condition); 但事实上我们不仅要求类时或类光曲线不能自相交, 还要求它们不能“几乎”自相交. 即, 对于类时或类光曲线上的任一点, 存在一个邻域, 在这个邻域中不存在同一条曲线上的点. 这被称为强因果性条件(Strong Causality Condition).

旋量表示的引入

一般的广义坐标变换群在时空切空间上所诱导的 $\mathrm{GL}\qty(4,\RR)$ 群并不存在旋量表示, 只有广义坐标变换群的子群(即狭义相对论的对称群) — Poincaré 群, (其万有覆盖群)才存在旋量表示^[2]. 但物理学要求旋量表示的存在. 因为在场论中, 粒子的非整数自旋按各阶旋量表示变换. 例如, 在基本粒子的标准模型中, 正反电子($e$ 和 $\bar{e}$), 正反 $\mu$ 子($\mu$ 和 $\bar{\mu}$), 正反 $\tau$ 子($\tau$ 和 $\bar{\tau}$)等轻子以及 $\mathrm{u}$, $\mathrm{d}$, $\mathrm{c}$, $\mathrm{s}$, $\mathrm{t}$, $\mathrm{b}$ 六味夸克(和它们相应的反夸克 $\bar{\mathrm{u}}$, $\bar{\mathrm{d}}$, $\bar{\mathrm{c}}$, $\bar{\mathrm{s}}$, $\bar{\mathrm{t}}$, $\bar{\mathrm{b}}$)的自旋均按 Lorentz 群的 Dirac 表示 $\qty(1/2,0)\oplus\qty(0,1/2)$ 变换, 而电子型中微子 $\nu_e$, $\mu$ 子型中微子$\nu_\mu$, $\tau$ 子型中微子$\nu_\tau$ 的螺旋度均按 Lorentz 群的左手 Weyl 表示 $\qty(1/2,0)$ 变换, 电子型反中微子 $\bar{\nu}_e$, $\mu$ 子型反中微子 $\bar{\nu}_\mu$, $\tau$ 子型反中微子 $\bar{\nu}_\tau$ 的螺旋度则均按 Lorentz 群的右手 Weyl 表示 $\qty(0,1/2)$ 变换^[3].

为了在广义相对论中引入旋量表示, 度规 $g_{\mu\nu}$ 必须满足相应的约束, 即要求 $g_{\mu\nu}$ 能够局域地对角化为 $\eta_{ab}$^[4]. 也就是说, 要求存在局域光滑的坐标变换 $x^\mu\mapsto\xi^a$, 能够让 $g_{\mu\nu}$ 变成 $\eta_{ab}$,

\begin{equation}\label{eq:度规局域变换为闵氏度规}
\begin{aligned}
\pdv{x^\mu}{\xi^a}\pdv{x^\nu}{\xi^b}g_{\mu\nu}=\eta_{ab}.
\end{aligned}
\end{equation}

这样, 我们就可以引入正交标架(orthogonal tetrad) $e_a=\pdv{}{\xi^a}$ 和相应的对偶标架 $\theta^a=\dd\xi^a$, 它们与坐标基矢 $\pdv{}{x^\mu}$ 及其对偶基矢 $\dd x^\mu$ 之间的变换关系分别为

\begin{equation}\label{eq:正交标架的分量}
\begin{cases}
&e_a={e_a}^\mu\pdv{}{x^\mu}, {e_a}^\mu=\pdv{x^\mu}{\xi^a},\\
\\
&\theta^a={\theta^a}_\mu\dd x^\mu, {\theta^a}_\mu=\pdv{\xi^a}{x^\mu}.
\end{cases}
\end{equation}

可以看出, 由各 ${e_a}^\mu$ 排成的矩阵与由各 ${\theta^a}_\mu$ 排成的矩阵互为逆转置矩阵,

\begin{equation}\label{eq:正交标架系数矩阵与对偶标架系数矩阵互为逆矩阵}
\begin{aligned}
&{\theta^a}_\mu{e_b}^\mu=\delta^a_b,\\
&{e_a}^\mu{\theta^a}_\nu=\delta^\mu_\nu.
\end{aligned}
\end{equation}

由于时空中每一点都可以引入这样的正交标架, 自然就可以构造一个主纤维丛 — 正交标架丛(orthogonal tetrad bundle), 其结构群为 Lorentz 群 $\mathrm{SO}\qty(1,3)$. 该主丛上可以以自然的方式定义联络, 即自旋联络(spin connection) $\tilde{\omega}=\tilde{\omega}_\mu\dd x^\mu$^[5], 该联络在底流形(即时空)上诱导的联络(仍然被称为自旋联络) $\omega=\omega_\mu\dd x^\mu$^[6] 与 Christoffel 符号 $\varGamma^\rho_{\mu\sigma}$ 之间的变换关系为

\begin{equation}\label{eq:自旋联络}
\begin{aligned}
\omega^a_{\mu b}={\theta^a}_\rho\qty(\varGamma^\rho_{\mu\sigma}+\delta^\rho_\sigma\pdv{}{x^\mu}){e_b}^\sigma.
\end{aligned}
\end{equation}

自旋联络表为矩阵形式即为

\begin{equation}\label{eq:自旋联络的矩阵形式}
\begin{aligned}
\omega=
\begin{pmatrix}
\omega^0_{\mu 0}\dd x^\mu & \cdots & \omega^0_{\mu 3}\dd x^\mu \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\omega^3_{\mu 0}\dd x^\mu & \cdots & \omega^3_{\mu 3}\dd x^\mu \\
\end{pmatrix}.
\end{aligned}
\end{equation}

为了后续描述方便, 我们定义

\begin{equation}\label{eq:自旋联络的指标升降}
\begin{aligned}
&\omega^{ab}_{\mu}\equiv\eta^{bc}\omega^a_{\mu c},\\
&\omega_{\mu ab}\equiv\eta_{ac}\omega^c_{\mu b}.
\end{aligned}
\end{equation}

不难证明, $\omega^{ab}_{\mu}$ 和 $\omega_{\mu ab}$ 对指标 $a$ 和 $b$ 都是反对称的, $\omega^{ab}_{\mu}=-\omega^{ba}_{\mu}$, $\omega_{\mu ab}=-\omega_{\mu ba}$. 由此我们可以进一步将自旋联络的分量表为

\begin{equation}\label{eq:自旋联络用洛伦兹群的生成元展开}
\begin{aligned}
\omega^a_{\mu b}={}&\delta^a_c\eta_{bd}\omega^{cd}_\mu
\\
={}&\delta^a_d\eta_{bc}\omega^{dc}_\mu
\\
={}&-\delta^a_d\eta_{bc}\omega^{cd}_\mu
\\
={}&\frac{1}{2}\qty(\delta^a_c\eta_{bd}-\delta^a_d\eta_{bc})\omega^{cd}_\mu
\\
={}&\frac{\ii}{2}\omega^{cd}_\mu{\qty(J_{cd})^a}_b,
\end{aligned}
\end{equation}

其中 ${\qty(J_{cd})^a}_b=-\ii\qty(\delta^a_c\eta_{bd}-\delta^a_d\eta_{bc})$ 即为特殊 Lorentz 群 $\mathrm{SO}^\uparrow_+\qty(1,3)$ 的生成元, 也就是 Lie 代数 $\mathfrak{sl}\qty(2,\CC)$ 的基矢, $\mathfrak{sl}\qty(2,\CC)=\mathrm{span}\qty(\qty{J_{ab}})$.

直接计算即可得到各 $J_{ab}$ 之间的对易关系,

\begin{equation}\label{eq:洛伦兹群生成元的对易关系}
\begin{aligned}
\qty[J_{ab},J_{cd}]=-\ii\qty(\eta_{ac}J_{bd}-\eta_{ad}J_{bc}+\eta_{bd}J_{ac}-\eta_{bc}J_{ad}).
\end{aligned}
\end{equation}

将自旋联络表为式 \eqref{eq:自旋联络用洛伦兹群的生成元展开} 后, 可以很方便地写出对 Lorentz 群的某个表示空间中的元素所构成的场的协变导数. 只需要将 Lorentz 群生成元 $J_{ab}$ 的基本表示 ${\qty(J_{ab})^c}_d=-\ii\qty(\delta^c_a\eta_{db}-\delta^c_b\eta_{da})$ 改为相应的表示 $J^{\qty(j_1,j_2)}_{ab}$ 即可,

\begin{equation}\label{eq:旋量的协变导数}
\begin{aligned}
D_\mu\varPhi=\qty(\pdv{}{x^\mu}+\frac{\ii}{2}\omega^{ab}_\mu J^{\qty(j_1,j_2)}_{ab})\varPhi,
\end{aligned}
\end{equation}

其中 $\varPhi$ 为负载表示 $\qty(j_1,j_2)$ 的线性空间内的任意元素所构成的场.